代数学II要約 No.8

第8回目の主題 :

可換環 $A$ 上の加群 $M$ の元 $m_1,m_2,\dots, m_k$ にたいして、 次のような変換を考えていた。

変換1.

$\{m_1,m_2,m_3,\dots,m_k\}$ の順序を入れ換える。

変換2.

$\{m_1,m_2,m_3,\dots,m_k\}$ の代わりに それを $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\in {\operatorname{GL}}_2(A)$ で「ひねった」

$$\{a. m_1+b.m_2,c.m_1+ d.m_2,m_3,\dots,m_k\}$$

を考える。

変換3.

$\{m_1,m_2,m_3,\dots,m_k\}$ の代わりに $m_1$ を

$$m_1'= m_1+ a_2 m_2+ a_3 m_3 + \dots m_k m_k$$

に置き換えたもの $\{m_1', m_2,m_3,\dots, m_k\}$ を考える。

手順 8.1   可換 PID $A$ と、その上の加群 $M$ が与えられていて、 $M$ は $A$ 上 $m_1,m_2,\dots, m_k$ で生成されているとする。 $m_1,m_2,\dots, m_k$ を(変換1), (変換2), (変換3) を 有限回繰り返して得られる $M$ の生成系 の全体を $\mathcal S$ とおく。このとき、

1. 次の操作をストップするまで繰り返し、 $\underline{w}=\{w_1,w_2,\dots w_k\}\in \mathcal S$ を得る。

   1. $$c_1 v_1 +c_2 v_2 \dots + c_k v_k=0$$
      なる関係式をひとつ見つけてくる。このような関係式で非自明なものが 存在しないならば $M$ は自由加群である。もし存在するならば、 (変換1)　をくり返して、 $c_1\neq 0$ としてよい。
   2. 上の $v$ に (変換1), (変換2) を繰り返すことにより、 $c_1 w_1 =0$ なる関係式をもつ $\{w_1,w_2,\dots, w_k\}\in \mathcal S$ を 見つけることができる。
   3. $w_1,w_2,\dots, w_n$ の関係式
      $$\sum_j a_j w_j$$
      のうち、 $a_1$ が $c_1$ で割り切れないものがもしなければ、ここでストップする。 あれば、$c_1$ と $a_1$ の gcd $d_1$ にたいして、ある $d_2,d_3,\dots, d_k\in A$ を見つけて、
      $$\sum d_j w_j =0$$
      なる関係式を見つけることができる。$\{w_j\}$ を $v$ の代わりに採用して、 (1)へ。
   命題 7.10 により、以上の操作は必ず有限回でストップする。
2. この時点で、 $M= A w_1 \oplus (A w_2 + \dots +A w_k)$ と 直和分解されるので、 $M'=A w_2,\dots A w_k$ に対して同様の操作を 繰り返す。

上の手順で $M$ を定理7.4 にあるように直和分解できるが、 その際の $w$ は、補題7.3の (2)で言われるような極大性の条件を満足するとは 限らない。その要求を満たすには次の補題のようなステップが必要になる。 応用上は定理7.4の形で十分なことが多いので詳細は略す。

補題 8.2   PID 上の加群 $M$ が二つの元 $m_1,m_2$ で生成されていて、その関係式が、

$$a_1 m_1 =0,\quad a_2 m_2=0$$

で与えられているとき、(言い換えると、 $M\cong A/A a_1 \oplus A/A a_2$ のとき、) 命題 7.9 のように $d=\gcd(a,b), a',b',x,y$ を選んで、

$$\bar{m_1}= a_1' m_1 + a_2' m_2 ,\quad \bar{m_2}= -y m_1 +x m_2$$

のように変換(変換2)を施すと、 $\bar{m_1},\bar{m_2}$ の関係式は

$$d \bar{m}_1=0,\quad l \bar{m}_2=0 \qquad (l=\operatorname{lcm}(a_1,a_2)=a_1 a_2 /d)$$

であたえられる。

問題 8.1   命題 7.7 を用いて、可換 PID $A$ 上の有限生成自由加群 $F$ の有限生成部分加群は 自由加群であることを示しなさい。