代数学 II 要約 NO.9

第 9 回目の主題 : 環の直積とその上の加群

前回までに、可換 PID A 上の有限生成加群は A 上の巡回加群の直和であることを示した。今回は A の元の「素元分解」を用いてその構造をもう少し細かく吟味しよう。

定義 9.1. 環 A にたいして、

Z(A) = {z ∈ A; zx = xz ∀x ∈ A}

は A の部分環をなす。これを A の中心とよぶ。

環の直積分解においては、二つの基本的な元が重要な役割を果たす。

補題 9.2. (直積分解と中心的射影の関係)

(1) A_{1}, A_{2} は単位元をもつ環であるとする。このとき A_{1} × A_{2} の元 e_{1}, e_{2} を、 e_{1} = (1, 0), e_{2} = (0, 1) によって定めると、 e_{1}, e_{2} は A の中心に属し、なおかつ次のことが成り立つ。

(*)  e_{1}^{2} = e_{1}, e_{2}^{2} = e_{2}, e_{1} + e_{2} = 1, e_{1}e_{2} = 0

(2) A は単位元をもつ可換環であるとする。もし A の中心に属する元 e_{1}, e_{2} で、 (*) を満たすものが存在すれば、 A は A/(e_{2}) × A/(e_{1}) と同型になる。

上の補題により、環を直積分解したいときには、 (*) を満たす元 e_{1}, e_{2} を探せばいいことがわかる。 e_{1}, e_{2} のことを (直積分解に対応する) 中心的射影と呼ぶ。実際には、次の補題のように、中心的射影を一つ見つければその相棒は自動的に見つかる。

補題 9.3. 環 A の中心に属する元 e が、ベキ等 (e^{2} = e) ならば、 e_{1} = e, e_{2} = 1 − e は (*) をみたす。

可換 PID A の元 x が二つの「互いに素な」元の積であるとき、剰余環 A/Ax の直積分解が次のように書ける。

命題 9.4. A が可換 PID で、 Aa + Ab = A をみたすとき (つまり a, b が「互いに素」である

とき)、

(1) 環としての同型

A/Aab ≅ (A/Aa) × (A/Ab)

が存在する。

(2) 上の同型はまた A-加群としての同型

A/Aab ≅ (A/Aa) ⊕ (A/Ab)

ともみなせる。

環としての直積 (A/Aa) × (A/Ab) と A-加群としての直和 (A/Aa) ⊕ (A/Ab) とは集合としては全く同じモノである。本講義では一応区別して書くが、教科書等では二つとも直和の記号 ⊕ で書かれることも多い。

系 9.5. m, n が互いに素な正の整数のとき、 (ℤ-) 加群の同型

ℤ/mnℤ ≅ ℤ/mℤ ⊕ ℤ/nℤ

が存在する。

上の系と有限生成アーベル群の基本定理により次の系が成り立つことがわかる。

系 9.6. 任意の有限生成アーベル群は、つぎの形のアーベル群の幾つかの直和に同型である。

(1) 無限巡回群 ℤ.

(2) ℤ/p^{n}ℤ (p は素数。 n は正の整数。 )

同様にして、次の命題が成り立つことがわかる。 (一般に、可換 PID の元に対しては素因数分

解が一意的に存在するということに注意しておく。 )

命題 9.7. 可換 PID A に対して、有限生成アーベル A 加群は、つぎの形の A-加群の幾つかの直和に同型である。

(1) A 自身 (を A 加群とみたもの。 )

(2) A/p^{n}A (p は A の素元。 n は正の整数。 )

一般に、環 A に中心的射影 e が存在すると、 A 上の加群も次のような分解を受ける。

命題 9.8. 環 A の中心的射影 e が与えられたとする。このとき、 (1) eM, (1 − e)M は M の A-部分加群である。

(2) M は A-加群として直和に分解される: M ≅ eM ⊕ (1 − e)M.

問題 9.1. ℤ/2ℤ ⊕ ℤ/2ℤ と ℤ/4ℤ とは ℤ-加群として同型ではないことを示しなさい。