代数学 II 要約 NO.11

今回は、行列のジョルダンの標準形について PID 上の加群の理論の立場から概説しよう。つぎのような基本仮定を出発点とする。

基本仮定

[figure: k は体であるとし、ある正の整数 n について行列 L ∈ M_{n}(k) が与えられていると ; する。このとき、一変数多項式環 k[X] の V = k^{n} への作用が ; p(X).v = p(L)v ; で定まるのであった。 (例 3.3) これにより、 V を k[X]-加群と見よう。]

k[X] は PID であるから、一般論 (命題 9.7) により、次の命題が成り立つことがわかる。

命題 11.1. 基本仮定のもとで、 V は k[X]/(p(X)^{e}) (p(X) は k[X] の素元。 e は正の整数) の形の k[X]-加群の直和である。

命題 11.2. f(X) ∈ k[X] を

f(X) = c_{d}X^{d} + c_{d−1}X^{d−1} + c_{d−2}X^{d−2} + ⋯ + c_{1}X + c_{0}

と書こう。 g(X) ∈ k[X] の k[X]/(f(X)) におけるクラスを [g]_{f} と書くことにする。このとき、

(1) k[X]/(f(X)) の基底として、

{b_{l} = [X^{l}]_{f}; (l = 0, 1, 2, …, d − 1)}

が取れる。

(2) 上の基底を用いると X の作用は

X.b_{l} = \begin{cases}b_{l+1} & (0 ≤ l < d − 1 のとき) \\ −(c_{d−1}b_{d−1} + c_{d−2}b_{d−2} + ⋯ + c_{1}b_{1} + c_{0}b_{0}) & (l = d − 1 のとき) \end{cases}

と書き下せる。

例 11.3. ℝ[X]/(X^{2} + 1) の基底として b_{0} = [1]_{X^{2}+1}, b_{1} = [X]_{X^{2}+1} が取れる。 X のこの基底への作用は、

X.b_{0} = b_{1}
X.b_{1} = −b_{0}

で与えられる。行列で表現すれば、

(X.b_{0} X.b_{1}) = (b_{0} b_{1}) (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

という具合である。

定義 11.4. 体 k が代数的閉体であるとは、 k 上の任意の (次数が 1 以上の) 一変数多項式 p(X) が一次式の積に分解するときに言う。

複素数体 ℂ は代数的閉体であることが知られている。任意の体 k に対して、それを含むような最小の代数的閉体 k̄ が存在することが知られている。このような k̄ のことを k の代数的閉包と呼ぶ。

以下、 k が代数的閉体のときを主に考える。このときには k 上の一変数既約多項式は一次式に限るから、次のことがわかる。

命題 11.5. 基本仮定のもとで、さらに k が代数的閉体であるとき、 V は k[X]/((X − c)^{e}) (c ∈ k, e ∈ ℤ_{>0}) の形の k[X]-加群と同型である。

命題 11.2 のような基底を取れば、 k[X]/(X − c)^{e} 上の X の作用の表現を得ることができるが、 c だけずらすことによって、さらに良い基底を取ることもできる。

命題 11.6. (1) k[X]/((X − c)^{e}) の基底として、

{b_{l} = [(X − c)^{l}]_{f}; (l = 0, 1, 2, …, e − 1)}

が取れる。 (2) 上の基底を用いると X の作用は

X.b_{l} = \begin{cases}cb_{l} + b_{l+1} & (0 ≤ l < e − 1 のとき) \\ cb_{l} & (l = e − 1 のとき) \end{cases}

と書き下せる。行列で書くと

(X.b_{0} X.b_{1} X.b_{2} … X.b_{e−1}) = (b_{0} b_{1} b_{2} … b_{e−1}) (\begin{matrix}c \\ 1 & c \\ & 1 & c \\ & & ... & ... \\ & & & 1 & c \end{matrix}) .

もしくは、基底の順番を取り換えて、

(X.b_{e−1} X.b_{e−2} X.b_{e−3} … X.b_{0}) = (b_{e−1} b_{e−2} b_{e−3} … b_{0}) J_{e}(c)

ただし J_{e}(c) はジョルダン細胞と呼ばれる次のような行列である。

J_{e}(c) = (\begin{matrix}c & 1 \\ & c & 1 \\ & & ... & ... \\ & & & c & 1 \\ & & & & c \end{matrix}) .

系 11.7. 代数的閉体 k 上の行列 L ∈ M_{n}(k) が与えられたとき、うまい基底変換行列 P ∈ GL_{n}(k) をとれば、

P LP^{−1} = (\begin{matrix}J_{e_{1}}(c_{1}) \\ & J_{e_{2}}(c_{2}) \\ & & J_{e_{2}}(c_{2}) \\ & & & . & . & . \\ & & & & & & J_{e_{s}}(c_{s}) \end{matrix})

とジョルダン細胞の「直和」に分解される。

問題 11.1. n = 2 で、

L = (\begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix})

のとき、基本仮定のようにして V = ℂ^{2} を ℂ[X] 加群と見よう。このとき、 V は k[X] 上 e_{1} = ^{t}(1 1) で生成されることを示しなさい。

問題 11.2. 前問の仮定のもとで、 ℂ[X]-加群の同型 ℂ[X]/(X − 2)(X − 3) ≅ V を作ってみせなさい。