代数学 II 要約 NO.13

今日のテーマ: 完全系列

定義 13.1. 環 A と、 A-加群 L, M, N が与えられているとする。このとき、 (1) A-加群の準同型 f, g を並べた「系列」

L →^{f} M →^{g} N

が完全系列 (exact sequence) であるとは、 Image(f) = Ker(g) である時にいう。 (2) もっと長い A-加群の「系列」

→ M_{i} →^{f_{i}} M_{i+1} →^{f_{i+1}} M_{i+2} →

についても、これが完全系列 (exact sequence) であるということを Image(f_{i}) = Ker(f_{i+1}) が成り立つことで定義する。

補題 13.2. 環 A 上の任意の A-加群 L, M とその間の準同型 f にたいし、

(1) 0 → L →^{f} M が完全 ⇔ f が単射。

(2) L →^{f} M → 0 が完全 ⇔ f が全射。

定義 13.3.

0 → L → M → N → 0

の形の完全列を短完全列とよぶ。

補題 13.4. A-加群の短完全列

(*)  0 → L →^{f} M →^{g} N → 0

について、次は同値である。

(1) A-準同型写像 ν : N → M で、 g ∘ ν = id を満たすものが存在する。 (このような ν のことを g の section と呼ぶ。

(2) M の部分加群 K で M = f(L) ⊕ K を満たすものが存在する。

(3) A-準同型写像 μ : M → L で、 μ ∘ f = id を満たすものが存在する。 (このような μ のことを f の section と呼ぶ。

定義 13.5. 上の補題の仮定のもとで、 (1)-(3) のうちひとつ (したがって、全部) の条件が成り立つとき、 (*) は分裂する (split) という。

線形代数学の知識ですぐわかるように、体上の短完全列は必ず分解する。他方、 ℤ-加群の完全列

0 → ℤ →^{×3} ℤ → ℤ/3ℤ → 0

は分裂しない。 (体以外の) 大抵の環 A に対しては、このように分裂しない短完全列が存在するのだが、下記のような例外もある。

定理 13.6 (マシュケの定理 (を加群の言葉で述べたもの)). 体 k と有限群 G が与えられていて、 G の位数 g と k の標数 p とは互いに素であると仮定する。このとき、 k[G]-加群の短完全列 (A = k[G] のときの (*)) は必ず分裂する。

証明は g の k-加群としての section を G の作用でもって「平均を取る」ことにより得られる。

問題 13.1. 有限群 G にたいして、 Ψ : ℂ[G] → ℂ を、 Ψ(∑_{g} a_{g} · g) = ∑_{g} a_{g}) で定める。

(1) Ψ は ℂ[G]-加群の準同型であることを示しなさい。ただし、 ℂ には G は自明に作用する (すなわち、 g.c = c ∀g ∈ G∀c ∈ ℂ)) ものとする。

(2) Ψ の核を K と置く。このとき、 ℂ[G]-加群の短完全列

(**)  0 → K→ℂ[G] →^{Ψ} ℂ → 0

の分裂を与えるような Ψ の section σ : ℂ → ℂ[G] をひとつ与えよ。 (わかりにくい

場合には G = C_{3} の場合のみに解答を書いても良い)