代数学 II 要約 NO.14

今日のテーマ: 群の表現と加群の理論

定理 14.1 (マシュケの定理 (を加群の言葉で述べたもの)). 体 k と有限群 G が与えられていて、 G の位数 g と k の標数 p とは互いに素であると仮定する。このとき、 k[G]-加群の短完全列は必ず分裂する。

証明は g の k-加群としての section を G の作用でもって「平均を取る」ことにより得られる。

問題 14.1. 有限群 G にたいして、 Ψ : ℂ[G] → ℂ を、 Ψ(∑_{g} a_{g} · g) = ∑_{g} a_{g} で定める。

(1) Ψ は ℂ[G]-加群の準同型であることを示しなさい。ただし、 ℂ には G は自明に作用する (すなわち、 g.c = c ∀g ∈ G∀c ∈ ℂ)) ものとする。

(2) Ψ の核を K と置く。このとき、 ℂ[G]-加群の短完全列

(**)  0 → K→ℂ[G] →^{Ψ} ℂ → 0

の分裂を与えるような Ψ の section σ : ℂ → ℂ[G] をひとつ与えよ。 (わかりにくい

場合には G = C_{3} の場合のみに解答を書いても良い)

補足 1.

補題 14.2. 環 A が与えられたとき、 (1) A-左加群 M, N にたいして、 M から N への A-準同型の全体

Hom_{A}(M, N)

は加群の構造を持つ。

(2) さらに A が可換なら、 Hom_{A}(M, N) は A-加群の構造を持つ。

* 一般に、 Hom_{A}(M, N) は A の中心 Z(A) の上の加群と見ることができる。その他、 M, N が特殊なものの場合には、 Hom_{A}(M, N) にエクストラな構造が入ることがある。例えば、 A が可換でなくても Hom_{A}(M, A) は A-右加群の構造を持つ。

日程:

◎今日以の講義終了後は、特例欠席など特別の理由のあるものを除き、 No.14 のレポート以外は受け取りません。

7/23 高知大学的月曜日のため代数 II の講義はない。

7/30 本講義の最後 (補足事項など)。

8/6 試験