代数学II要約 No.14

今日のテーマ:

定理 14.1 (マシュケの定理(を加群の言葉で述べたもの))   体 $k$ と有限群 $G$ が与えられていて、$G$ の位数 $g$ と $k$ の標数 $p$ とは 互いに素であると仮定する。このとき、$k[G]$ -加群の短完全列 は必ず分裂する。

証明は $g$ の $k$ -加群としての section を $G$ の作用でもって 「 平均を取る」ことにより得られる。

問題 14.1   有限群 $G$ にたいして、 $\Psi:{\mathbb{C}}[G]\to {\mathbb{C}}$ を、 $\Psi(\sum_g a_g\cdot g)=\sum_g a_g$ で定める。

1. $\Psi$ は ${\mathbb{C}}[G]$ -加群の準同型であることを示しなさい。ただし、 ${\mathbb{C}}$ には $G$ は自明に作用する (すなわち、 $g.c=c \qquad \forall g\in G \forall c\in {\mathbb{C}})$ ) ものとする。
2. $\Psi$ の核 を $K$ と置く。このとき、 ${\mathbb{C}}[G]$ -加群の短完全列

   $$0\to K {\to} {\mathbb{C}}[G] \overset{\Psi}{\to} {\mathbb{C}}\to 0$$ (**)

   
   
   の分裂を与えるような $\Psi$ の section $\sigma: {\mathbb{C}}\to {\mathbb{C}}[G]$ をひとつ与えよ。 (わかりにくい場合には $G=C_3$ の場合のみに解答を書いても良い)

補足1.

補題 14.2   環 $A$ が与えられたとき、

1. $A$ -左加群 $M,N$ にたいして、$M$ から $N$ への $A$ -準同型の全体
   $$\operatorname{Hom}_A(M,N)$$
   は加群の構造を持つ。

2. さらに $A$ が可換なら、 $\operatorname{Hom}_A(M,N)$ は $A$ -加群の構造を持つ。

* 一般に、 $\operatorname{Hom}_A(M,N)$ は $A$ の中心 $Z(A)$ の上の加群と見ることができる。 その他、 $M,N$ が特殊なものの場合には、 $\operatorname{Hom}_A(M,N)$ にエクストラな構造が 入ることがある。例えば、$A$ が可換でなくても $\operatorname{Hom}_A(M,A)$ は $A$ -右加群の構造を持つ。

日程:

◎今日以の講義終了後は、 特例欠席など特別の理由のあるものを除き、No.14 のレポート以外は 受け取りません。

7/23 高知大学的月曜日のため代数IIの講義はない。

7/30 本講義の最後(補足事項など)。

8/6 試験