代数学 II 試験予想問題

• 持ち込みは他人の迷惑になるもの以外何でも可である。

• この予想問題と全く同じ問題は出ない。

• 知識のみの解答はほとんど 0 点に近いことを覚悟すること。例えば下の問題 15.1 の解答として「8 と 6 とが互いに素ではないから」と書いても (その事自体は正しいが、 ) ほとんど点にはならない。

問題 15.1. ℤ/8ℤ × ℤ/6ℤ と ℤ/48ℤ とは加群として同型ではないことを示しなさい。

問題 15.2. ℤ/7ℤ × ℤ/6ℤ と ℤ/42ℤ とは加群として同型であることを示しなさい。

問題 15.3. ℂ[X]-加群として ℂ[X]/(X^{2} − 1) ≅ ℂ[X]/(X − 1) ⊕ ℂ[X]/(X + 1) であることを示しなさい。

問題 15.4. ℤ 加群 M_{1} = ℤ ⊕ ℤ から M_{2} = ℤ ⊕ ℤ への準同型写像 f : M_{1} → M_{2} を

f((\begin{matrix}a \\ b \end{matrix})) = (\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & −4 \end{matrix}) (\begin{matrix}a \\ b \end{matrix})

で定めて、 N = M_{2}/f(M_{1}) とおく。 M_{2} の元 m の N でのクラス (剰余類) を [m] と書こう。このとき、

(1) M_{2} の元 m で、 [0] = [m] となるものの例を 5 個挙げよ。

(2) M_{2} の元 e_{1} = (\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}) と e_{2} = (\begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix}) とは N において同じクラスではない (すなわち、

[e_{1}] ≠ [e_{2}] である) ことを示しなさい。

(3) (上級者向け) N を巡回加群の直和として表現しなさい。