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代数学II試験予想問題

問題 15.1   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/8{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/6{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/48{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ とは加群として同型ではないことを示しなさい。

問題 15.2   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/7{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/6{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/42{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ とは加群として同型であることを示しなさい。

問題 15.3  

$ {\mathbb{C}}[X]$ -加群として $ {\mathbb{C}}[X]/(X^2-1) \cong {\mathbb{C}}[X]/(X-1)\oplus {\mathbb{C}}[X]/(X+1)$ であることを示しなさい。

問題 15.4   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 加群 $ M_1={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\oplus {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から $ M_2={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\oplus {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への準同型写像 $ f: M_1 \to M_2$

$\displaystyle f(
\begin{pmatrix}
a \\
b
\end{pmatrix})
=
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & -4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a \\
b
\end{pmatrix}$

で定めて、 $ N=M_2/f(M_1)$ とおく。 $ M_2$ の元 $ m$$ N$ でのクラス(剰余類)を $ [m]$ と 書こう。 このとき、
  1. $ M_2$ の元 $ m$ で、 $ [0]=[m]$ となるものの例を 5個挙げよ。
  2. $ M_2$ の元 $ e_1=
\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}$ $ e_2=
\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix}$ とは $ N$ において同じクラスではない(すなわち、 % latex2html id marker 925
$ [e_1]\neq [e_2]$ である) ことを示しなさい。
  3. (上級者向け) $ N$ を巡回加群の直和として表現しなさい。



2010-07-30