代数学 II 試験問題

• 持ち込みは他人の迷惑になるもの以外何でも可である。

問題 16.1. ℤ-加群 M_{0} = ℤ/42ℤ ⊕ ℤ/35ℤ は ℤ-加群として巡回加群とは同

型ではないことを示しなさい。 (ヒント: 巡回加群とは ℤ/mℤ の形の加群のこと。もし仮にこれが M_{0} と同型だとすると、 xxx の関係から m = ... でなければならない。 )

問題 16.2. ℤ/221ℤ × ℤ/209ℤ はある有限巡回加群と同型だろうか。理由 (証明) をつけて述べなさい。

問題 16.3. 行列 L を、

L = (\begin{matrix}66 & 40 \\ 78 & 48 \end{matrix})

で定義し、 ℤ 加群 M_{1} = ℤ ⊕ ℤ から M_{2} = ℤ ⊕ ℤ への準同型写像 f : M_{1} → M_{2} を

f((\begin{matrix}a \\ b \end{matrix})) = L (\begin{matrix}a \\ b \end{matrix})

で定めて、 N = M_{2}/f(M_{1}) とおく。一般に、 M_{2} の元 x の N でのクラス (剰余類) を [x] と書こう。このとき、

(1) M_{2} の元 e_{1} = (\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}) の N でのクラス m_{1} = [e_{1}] と e_{2} = (\begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix}) の N で

のクラス m_{2} = [e_{2}] とは相異なることを示しなさい。

(2) N の元の等式 6(5m_{1} + 7m_{2}) = 0, 8(2m_{1} + 3m_{2}) = 0 を示しなさい。 (3) ℤ 加群 W の元 w_{1}, w_{2} が、

6(5w_{1} + 7w_{2}) = 0,
8(2w_{1} + 3w_{2}) = 0

を満たすとする。このとき、

66w_{1} + 78w_{2} = 0,
40w_{1} + 48w_{2} = 0

が成り立つことを示しなさい。

(4) N を巡回加群の直和として表現しなさい。

解答編

問題 16.1. ℤ-加群 M_{0} = ℤ/42ℤ ⊕ ℤ/35ℤ は ℤ-加群として巡回加群とは同

型ではないことを示しなさい。 (ヒント: 巡回加群とは ℤ/mℤ の形の加群のこと。もし仮にこれが M_{0} と同型だとすると、 xxx の関係から m = ... でなければならない。 )

解答 . もし仮に M_{0} = ℤ/42ℤ ⊕ ℤ/35ℤ が巡回加群と同型だとすると、位数の関係から M_{0} ≅ ℤ/1470ℤ でなければならない。とくに M_{0} には 1470 倍して初めて 0 になる元 [1]_{1470} が存在することになる。ところが M_{0} の任意の元 x は 210x = 0 をみたすからこれは不可能である。

問題 16.2. ℤ/221ℤ × ℤ/209ℤ はある有限巡回加群と同型だろうか。理由 (証明) をつけて述べなさい。

解答 . 同型である。準同型写像

f : ℤ ∋ n ↦ ([n]_{221}, [n]_{209}) ∈ ℤ/221ℤ ⊕ ℤ/209ℤ

に対して準同型定理を適用すればわかる。

問題 16.3. 行列 L を、

L = (\begin{matrix}66 & 40 \\ 78 & 48 \end{matrix})

で定義し、 ℤ 加群 M_{1} = ℤ ⊕ ℤ から M_{2} = ℤ ⊕ ℤ への準同型写像 f : M_{1} → M_{2} を

f((\begin{matrix}a \\ b \end{matrix})) = L (\begin{matrix}a \\ b \end{matrix})

で定めて、 N = M_{2}/f(M_{1}) とおく。一般に、 M_{2} の元 x の N でのクラス (剰余類) を [x] と書こう。このとき、

(1) M_{2} の元 e_{1} = (\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}) の N でのクラス m_{1} = [e_{1}] と e_{2} = (\begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix}) の N で

のクラス m_{2} = [e_{2}] とは相異なることを示しなさい。

(2) N の元の等式 6(5m_{1} + 7m_{2}) = 0, 8(2m_{1} + 3m_{2}) = 0 を示しなさい。 (3) ℤ 加群 W の元 w_{1}, w_{2} が、

6(5w_{1} + 7w_{2}) = 0,
8(2w_{1} + 3w_{2}) = 0

を満たすとする。このとき、

66w_{1} + 78w_{2} = 0,
40w_{1} + 48w_{2} = 0

が成り立つことを示しなさい。

(4) N を巡回加群の直和として表現しなさい。

代数学 II 試験問題

解答 .

(1) [e_{1}] = [e_{2}] であるとすると、 e_{1} − e_{2} ∈ f(M_{1}) となる。すなわち、ある a, b ∈ ℤ が存在して、

(16.1)  (\begin{matrix}1 \\ −1 \end{matrix}) = L (\begin{matrix}a \\ b \end{matrix})

がなりたつ。ところがこれを有理数の範囲で解くと、

(\begin{matrix}a \\ b \end{matrix}) = (\begin{matrix}11/6 \\ −3 \end{matrix}) .

が (16.1) の唯一の解であることがわかる。すなわち、 (16.1) をみたす整数 a, b は存在しない。これは矛盾である。 (本問と (2) とを効率よく求めるためには L^{−1} を計算しておけばよい。 ) (2)

6 (\begin{matrix}5 \\ 7 \end{matrix}) = L (\begin{matrix}−5 \\ 9 \end{matrix}) , 8 (\begin{matrix}2 \\ 3 \end{matrix}) = L (\begin{matrix}−4 \\ 7 \end{matrix})

という関係式が存在するからである。

(3) 以下、行列による略記法を用いよう。わかりにくい場合には適宜成分ごとに書いてみると良い。

B = (\begin{matrix}30 & 16 \\ 42 & 24 \end{matrix}) (= (\begin{matrix}5 & 2 \\ 7 & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix}6 & 0 \\ 0 & 8 \end{matrix}))

とおくと、

(w_{1} w_{2})B = 0

である。

L = BC (C = (\begin{matrix}7 & 4 \\ −9 & −5 \end{matrix}))

であるから、

(w_{1} w_{2})L = (w_{1} w_{2})BC = (0 0)C = 0

(4) N の生成元として m_{1} = [e_{1}], m_{2} = [e_{2}] を取ることができる。その基本関係式は (行列記法を用いて略記すると)

(m_{1} m_{2})L = (0 0)

である。この関係式を簡単にしよう。 (2),(3) により、 (あるいは、 det(C) = 1 で C が M_{2}(ℤ) の可逆元であることにより、 ) 上の関係式は

(m_{1} m_{2})B = (0 0)

と同値である。他方

(m′_{1} m′_{2}) = (m_{1} m_{2}) (\begin{matrix}5 & 2 \\ 7 & 3 \end{matrix})

は基本変換の一つであり、上記関係式を m′_{1}, m′_{2} で書けば、

6m′_{1} = 0, 8m′_{2} = 0

であることがわかる。すなわち、

N ≅ ℤ/6ℤ ⊕ ℤ/8ℤ.

代数学 II 試験問題

[本問のキーになるのは、 (2) の解答のところの等式をひとつにまとめた

(\begin{matrix}5 & 2 \\ 7 & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix}6 & 0 \\ 0 & 8 \end{matrix}) (= B) = L (\begin{matrix}−5 & −4 \\ 9 & 7 \end{matrix})

があって、この式に登場する

(\begin{matrix}5 & 2 \\ 7 & 3 \end{matrix}) , (\begin{matrix}−5 & −4 \\ 9 & 7 \end{matrix}) (= C^{−1})

の二つの行列は整数係数の逆行列をもつという部分である。 ]