代数学II試験問題

$\begin{q} ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$-加群 $M_0={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/42{\mbox{$... ...$M_0$\ と同型だとすると、xxx の関係から $m=...$\ でなければならない。)} \end{q}$

$\begin{q} ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/221{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\ma... ...}$}}$\ はある有限巡回加群と同型だろうか。理由(証明)をつけて述べなさい。 \end{q}$

$\begin{q} 行列 $L$\ を、 \begin{displaymath} L= \begin{pmatrix} 66 & 40 \\ 78 &... ...い。 \item $N$\ を巡回加群の直和として表現しなさい。 \end{enumerate}\par \end{q}$
解答編
$\begin{q} ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$-加群 $M_0={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/42{\mbox{$... ...$M_0$\ と同型だとすると、xxx の関係から $m=...$\ でなければならない。)} \end{q}$

$\begin{q} ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/221{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\ma... ...}$}}$\ はある有限巡回加群と同型だろうか。理由(証明)をつけて述べなさい。 \end{q}$

$\begin{q} 行列 $L$\ を、 \begin{displaymath} L= \begin{pmatrix} 66 & 40 \\ 78 &... ...い。 \item $N$\ を巡回加群の直和として表現しなさい。 \end{enumerate}\par \end{q}$

解答

(1) であるとすると、 $e_1 -e_2 \in f(M_1)$ となる。すなわち、ある $a,b\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ が存在して、

$\displaystyle \begin{pmatrix}1 \\ -1 \end{pmatrix} = L \begin{pmatrix}a \\ b \end{pmatrix}$

(16.1)

がなりたつ。ところがこれを有理数の範囲で解くと、

$\displaystyle \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 11/6 \\ -3 \end{pmatrix}.$

が(16.1)の唯一の解であることがわかる。すなわち、(16.1) をみたす整数

は存在しない。これは矛盾である。 (本問と (2)とを効率よく求めるためには $L^{-1}$ を計算しておけばよい。)

(2)

$% latex2html id marker 1724 $\displaystyle 6 \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatr... ...\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}= L \begin{pmatrix} -4 \\ 7 \end{pmatrix}$$

という関係式が存在するからである。

(3) 以下、行列による略記法を用いよう。わかりにくい場合には適宜成分ごとに書いてみると良い。

$\displaystyle B= \begin{pmatrix} 30 & 16 \\ 42 & 24 \end{pmatrix}(= \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 7 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 8 \end{pmatrix})$

とおくと、

$\displaystyle (w_1\ w_2) B=0$

である。

$% latex2html id marker 1730 $\displaystyle L=B C \qquad (C= \begin{pmatrix} 7 & 4 \\ -9 & -5 \end{pmatrix}) $$

であるから、

$\displaystyle (w_1 \ w_2)L= (w_1\ w_2)B C= (0\ 0) C=0$

(4) の生成元として , を取ることができる。その基本関係式は(行列記法を用いて略記すると)

$\displaystyle (m_1 \ m_2) L=(0 \ 0 )$

である。この関係式を簡単にしよう。 (2),(3) により、(あるいは、 $\operatorname{det}(C)=1$ で

が $M_2({\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$ の可逆元であることにより、) 上の関係式は

$\displaystyle (m_1\ m_2)B=(0 \ 0)$

と同値である。他方

$\displaystyle (m_1' \ m_2')= (m_1 \ m_2) \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 7 & 3 \end{pmatrix}$

は基本変換の一つであり、上記関係式を

で書けば、

$% latex2html id marker 1754 $\displaystyle 6 m_1'=0, \quad 8 m_2'=0 $$

であることがわかる。すなわち、

$\displaystyle N\cong {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/6{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\oplus {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/8{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}.$

[本問のキーになるのは、(2)の解答のところの等式をひとつにまとめた

$\displaystyle \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 7 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}(=B) = L \begin{pmatrix} -5 & -4 \\ 9 & 7 \end{pmatrix}$

があって、この式に登場する

$% latex2html id marker 1760 $\displaystyle \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 7 & 3 \end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix} -5 & -4 \\ 9 & 7 \end{pmatrix}(=C^{-1}) $$

の二つの行列は整数係数の逆行列をもつという部分である。 ]