$xy=0$ ならば $x=0$ または $y=0$ ?

1. $x,y$ がどのような元(数,行列,etc)であるかが大事。
2. $x,y$ が環 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/6{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ や ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/9{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ などの元の場合にはどうか。
3. $x,y$ が行列の場合にはどうか。
4. 可換環の元 $a,b$ について、 $a=b$ をしめすには、 $10 a= 10 b$ を示せば十分だろうか。

間違いはどこか(「論理の間違い」としては同根であろう)：

...二次行列 $A$ が、 $A^2-3 A +2 E=0$ をみたすとする。 Cayley-Hamilton の定理により $\operatorname{tr}(A)=3, \operatorname{det}(A)=2$ でなければならない...

以上の状況を知った上で、

$\bullet$ 「実数 $x,y$ が、$xy=0$ をみたすならば $x=0$ または $y=0$ である」 を説明するとしたらどのようにすべきだろうか。