代数学III要約 No.3

今日のテーマ:

定義 3.1   $K$ の 拡大体 $L$ は $K$ 上のベクトル空間の構造を持つ。 そこで、 $L$ の $K$ -ベクトル空間としての次元のことを $L$ の $K$ 上の拡大次数 といい、 $[L:K]$ で書き表す。 $[L:K]<\infty$ のとき、$L$ は $K$ の有限次拡大であると言う。

次の命題は体の拡大次数の方程式論的な意味を明らかにする。

命題 3.2   体 $K$ の拡大体 $L$ と $L$ の元 $\alpha$ とが与えられているとする。 このとき、

1. $d=[K(\alpha):K]$ が有限であることと、 $\alpha$ が $K$ 上代数的であることは 同値である。
2. $d<\infty$ なら、$d$ は $\alpha$ の $K$ 上の最小多項式の次数と等しい。

命題 3.3  

1. 体 $K,L_1,L_2$ が $K\subset L_1 \subset L_2$ をみたすならば 拡大次数の間に
   $$[L_2:K]=[L_2:L_1][L_1:K]$$
   という関係式が成り立つ。
2. 体 $K$ の有限次拡大体 $L$ の元は全て $K$ 上代数的である。

定理 3.4   体 $K$ と、その拡大体 $L$ が与えられているとする。 このとき、$L$ の 元で、$K$ 上代数的な元同士の和、差、積、商はまた $K$ 上代数的である。つまり、$L$ の元で $K$ 上代数的なものの全体 は体をなす。

補遺: 次のことは前回に述べるべきだったが、書いて置かなかったので ここに改めて書いておくことにする。 (命題2.5の後あたりに配するのが妥当だったろう。)

命題 3.5   体 $K$ の拡大体 $L$ と $K$ 上の代数的な元 $\alpha\in L$ が与えられているとする。 このとき、

1. $\alpha$ の最小多項式 $f_0(X)$ は既約である。
2. $f\in K[X]$ が $f(\alpha)=0$ を満たすならば、 $f$ は $\alpha$ の最小多項式 $f_0$ で割り切れる。

問題 3.1   $\alpha=\sqrt{2}+7\sqrt[3]{5}$ は $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上代数的であることを示しなさい。

上の問題は間接的な解答でも良いわけだが、直接的に答える、 すなわち $\alpha$ の $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上の最小多項式を実際に求めることもできる。例えば次のようにすれば良い。

問題 3.2   $\alpha=\sqrt{2}+7\sqrt[3]{5}$ とおく。このとき、

1. $(\alpha-\sqrt{2})^3-1715=0$ であることを示しなさい。
2. $p(X)=((X-\sqrt{2})^3 -1715)((X+\sqrt{2})^3-1715)$ を展開し、それが $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ の元であることを確かめなさい。
3. 上の $p$ は $p(\alpha)=0$ を満たすことを示しなさい。