代数学 III 要約 NO.4

今日のテーマ: 共役

共役は昔は共軛と書いた。したがって、この字は「きょうやく」と読むのが正しい。このへんの事情については wikipedia の共役の項にも記述が見られる。ネットも捨てたもんじゃない。

体 K 上の代数的数 α を付け加えてできた体 K(α) の構造は、実際には α の K 上の最小多項式 f_{0} によって完全に決まるのであった。

定義 4.1. 体 K の拡大体 L から体 K の拡大体 L′ への写像 φ が中への K-同型であるとは、 φ が環準同型であって、なおかつ K 上で恒等写像に等しい時に言う。言い換えると、 L から L′ の中への K-同型とは環の準同型であって、同時に K-線形写像でもあるもののことである。さらに、中への K-同型 φ が全射であるとき、 φ を単に K-同型と呼ぶ (このとき φ は必然的に全単射である) 。

命題 4.2. 体 K 上の拡大体 L の元 α, β が、いずれも K 上代数的であるとき、次のことは同値である。

(1) α, β の K 上の最小多項式が等しい。

(2) K(α) から K(β) への K-同型 φ で、 φ(α) = φ(β) を満たすものが存在する。

(3) K[X] の任意の元 a, b に対して、

a(α) = b(α) ⇔ a(β) = b(β)

定義 4.3. 上の同値な条件のひとつ (ゆえに、全部) が成り立つとき、 α, β は K 上共役であるという。

問題 4.1. α = \sqrt{2} + 3 と β = −\sqrt{2} + 3 は ℚ 上共役ではあるが、 ℚ(\sqrt{2}) 上共役ではないことを示しなさい。 (本問では\sqrt{2} が無理数であることは証明なしに用いて良いことにする。 )

問題 4.2. 体 K の拡大体 L と、 L の元 α_{1}, α_{2}, β_{1}, β_{2} が与えられているとする。 α_{1} と β_{1} とが K 上共役で、 α_{2} と β_{2} とが K 上共役ならば、 α_{1} + α_{2} と β_{1} + β_{2} は K 上共役であると必ず言えるだろうか?