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代数学III要約 No.5

今日のテーマ: \fbox{分解体}

$ K$ 上の一変数既約多項式 $ f(X)$ が与えられているとする。 $ K$$ f$ の根 $ \alpha$ を付け加えてできたような体 $ L_1=K(\alpha)$ を つくることができるのであった。 もちろん、$ f$$ L_1$ 上一次の因数 $ X-\alpha$ をもつ。 しかし、$ f$ がこれ以上因数分解できるかどうかは 場合による。

定義 5.1   体 $ K$ とその上の(既約とは限らない)一変数多項式 $ f\in K[X]$ が与えられているとする。このとき、 $ K$ の拡大体 $ L$$ f$分解体であるとは、$ f$$ L$ 上の多項式として 1次式の積に分解できるときにいう。

もっと一般に、 体 $ K$ 上の有限個の一変数多項式 $ f_1,f_2,\dots,f_s$ が与えられたとき、$ L$ がその分解体 であるとは、各 $ f_j$$ L$ で一次式の積に分解できるようなときにいう。 (これは実際には積 $ f_1f_2\dots f_s$ の分解体ということと同じである。)

与えられた一変数多項式 $ f$ にたいして、 その分解体は一意とは限らない。じっさい、 $ L_1$$ f$ の分解体なら、$ L_1$ の拡大体はどれも $ f$ の分解体である。

命題 5.2   $ K$ 上の任意の一変数多項式 $ f$ は分解体をもつ。すなわち、 ある体 $ L$ で、$ f$$ L$ 上一次式の積に分解できるようなものが存在する。

上の命題を用いると、$ L$$ f$ の分解体であるとは、 $ L$ を十分大きい体 $ \Omega$ に埋め込んだ時に $ f$$ \Omega$ における $ K$ 上の共役がすべて $ L$ に 含まれているということと同値であるということがわかる。

定理 5.3   体 $ K$ の拡大体 $ L_0$ と、その拡大体 $ L_1=K(\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_t)$ が与えられているとする。 $ \theta_1,\theta_2,\dots,\theta_t$$ K$ 上の最小多項式を $ f_1,f_2,\dots, f_t$ と置こう。 このときもし $ L$ $ f_1,f_2,\dots, f_t$ の分解体ならば次のことが成り立つ。

中への $ K$ -同型 $ \sigma_0: L_0 \to L$ が任意に与えられたとき、 $ \sigma_0$ の延長であるような中への同型 $ \sigma: L_1\to L$ が存在する。

上の定理の条件は 「($ L$ の十分大きな拡大体 $ \Omega$ の中で,) $ \theta_1,\theta_2,\dots,\theta_t$ のすべての $ K$ 上の ($ \Omega$ 内での)共役が $ L$ に属する」ということと同値である。

定義 5.4 (間に合わせ的)   体 $ K$ とその上の一変数多項式 $ f$ が与えられたとき、 $ f$ の分解体 $ \Omega$ が存在するのであった。 $ \Omega$ の中での $ f$ の根を $ \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$ と おくとき、 $ K(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s)$ は明らかに $ K$ の拡大体で $ f$ の分解体のうち極小なものである。 これを $ f$極小分解体(minimal splitting field)と呼ぼう。

上で「間に合わせ的」と書いたのは次のように「最小...」と呼ぶことが 普通だからである。(英語なら the が付くか否かの違いに過ぎない。)

命題 5.5   体 $ K$ とその上の一変数多項式 $ f$ が与えられたとき、 $ f$ の極小分解体はすべて互いに $ K$ -同型である。 したがってそれらをいちいち区別せずに最小分解体 (the minimal splitting field)と呼ぶ。

今回のまとめ:

一変数多項式はそれがどんなものであれ体を拡大すれば 一次式の積に分解できるということ、そのために必要な体はどれも 同型であることを学んだ。このことは今後の議論に重要な基礎を与える。

問題 5.1   $ f(X)=X^4+X^3+X^2+X+1 (\in$   $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ [X])$ とおく。このとき、
  1. $ f$$ X^5-1$ の因数であることを示しなさい。
  2. $ f$ のひとつの根を $ \alpha$ と置くと、 $ \alpha^2,\alpha^3,\alpha^4$$ f$ の根であることを示しなさい。
  3. $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ (\alpha)$ $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上の $ f$ の最小分解体であることを 示しなさい。

問題 5.2   前問の $ f$ $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ [X]$ の元として既約であることを示しなさい。 (ヒント: $ f$ が既約でなかったとして、 $ f=gh$ と因数分解されたとする。 $ g,h$ はともにモニックとして良い。前問の結果をもちいて、$ g,h$ の定数項が また $ f$ の根であることを示せ。その結果 $ f$ $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上に 解を持つことにするが、これは $ f$ の複素数体上の素因数分解の 結果に反する。($ f$ は実数の根をもたない)。


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2010-11-12