代数学III要約 No.9

今日のテーマ:

補題 9.1   $K$ の代数拡大体 $L=K(\alpha_1,\dots, \alpha_t)$ が与えられたとする。 $\alpha_1,\alpha_2,\dots, \alpha_t$ のすべての $K$ 上の共役が $L$ 内に存在するならば(すなわち、それらの最小多項式がすべて $L$ 上では 一次式の積に分解されるならば)、 $L$ は $K$ の正規拡大である。

系 9.2   $K$ の有限次代数拡大体 $L=K(\alpha_1,\alpha_2,\dots, \alpha_t)$ が $K$ 上ガロア拡大であるための必要十分条件は、生成元 $\alpha_1,\dots,\alpha_t$ が すべて $K$ 上 分離的であり、なおかつそれらの $K$ 上の共役がすべて $L$ 内に存在することである。

前回、体 $K$ 上の二つの体 $L$ と $\Omega$ のあいだの($L$ から $\Omega$ への) $K$ -同型のことを $\operatorname{Hom}_K(L,\Omega)$ と 表記したが、これは少し曖昧さがあることに気づいたので、 $\operatorname{Hom}_K^{\operatorname{algebra}}(L,\Omega)$ と書くことにする。(Web 版では変更済み。)

定義 9.3   体 $K$ の有限次ガロア拡大 $L$ に対して、 $\operatorname{Hom}_K^{{\operatorname{algebra}}}(L,L)$ は写像の合成について群をなす。この群を $L$ の $K$ 上のガロア群とよび、

$$\operatorname{Gal}(L/K)$$

で書き表す。

体の有限次ガロア拡大が与えられると、ガロア群がひとつ定まる。 この群を詳しく調べることにより、体の拡大の様子が手に取るようにわかる。 これがガロア理論の真骨頂である。

ガロア群を計算するときには、

1. ガロア群の元になりそうなものをすべて挙げる。
2. それらがガロア群の元になるか、それらで足りているかを元の数の 勘定で確認する。

のステップで行うことが多い。その意味で次の命題は基本的である。

命題 9.4   体 $K$ の有限次ガロア拡大 $L$ に対して、

$$\vert G\vert=[L:K]$$

例 9.5   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{11})$ は $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上のガロア拡大であって、 そのガロア群の元は $\sqrt{11}$ の行き先 ($\sqrt{11}$ or $-\sqrt{11}$ ) で定まる。 その結果、

$$\operatorname{Gal}($$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\sqrt{11}))/$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$) \cong C_2$$

($2$ 次の巡回群)

例 9.6   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{2},\sqrt{3})$ は $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上のガロア拡大であって、 そのガロア群の元は $\sqrt{2}$ と $\sqrt{3}$ の行き先 (それぞれ $\sqrt{2}$ or $-\sqrt{2}$ と $\sqrt{3}$ or $-\sqrt{3}$ ) で定まる。 その結果、

$$\operatorname{Gal}($$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\sqrt{2},\sqrt{3}))/$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$) \cong C_2\times C_2$$

(2つの $2$ 次の巡回群の直積。)

問題 9.1   $\operatorname{Gal}({\mathbb{C}}/$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ を求めよ。