代数学 III 要約 NO.11

今日のテーマ: ガロア対応の例

次の補題にあたる内容が残ってしまっていた。

補題 11.1. 体 K の有限次ガロア拡大体 L と、ガロア群 G = Gal(L/K) の部分群 H が与えられたとする。このとき、 H に関する不変体 L^{H} について、

[L : L^{H}] = |H|

が成り立つ。

以下ガロア対応の例を挙げよう。

例 11.2. L = ℚ(\sqrt{19}), K = ℚ.

G = Gal(L/K) ≅ C_{2}

G の部分群は G と {e} の二つしかなく、それらに対応する中間体はそれぞれ順に K, L である。

例 11.3. L = ℚ(\sqrt{11} + \sqrt{13}), K = ℚ.

G = Gal(L/K) ≅ C_{2} × C_{2}

G の部分群は G と {e} のほかに 3 つある。それらに対応する中間体は

ℚ(\sqrt{11}), ℚ(\sqrt{13}), ℚ(\sqrt{11 · 13}).

例 11.4. L = ℚ(\sqrt[3]{11}, ω), K = ℚ. (ω = \frac{−1 + \sqrt{−3}}{2}).

G = Gal(L/K) ≅ 𝔖_{3} (3 次の対称群)

G の部分群は G と {e} のほかに:

• 位数 2 のもの 3 つ。

• 位数 3 のもの 1 つ。

それらに対応する中間体は • ℚ(\sqrt[3]{11}), ℚ(\sqrt[3]{11}ω), ℚ(\sqrt[3]{11}ω^{2}).

• ℚ(ω).

問題 11.1. ℚ(\sqrt[4]{3}, \sqrt{−1}) の部分体を二つ以上挙げ、それぞれの ℚ 上の拡大次数を求めなさい。