代数学III要約 No.11

今日のテーマ:

次の補題にあたる内容が残ってしまっていた。

補題 11.1   体 $K$ の有限次ガロア拡大体 $L$ と、ガロア群 $G=\operatorname{Gal}(L/K)$ の部分群 $H$ が与えられたとする。このとき、 $H$ に関する不変体 $L^H$ について、

$$[L:L^H] =\vert H\vert$$

が成り立つ。

以下ガロア対応の例を挙げよう。

例 11.2   $L=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{19}),K=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ .

$$G=\operatorname{Gal}(L/K)\cong C_2$$

$G$ の部分群は $G$ と $\{e\}$ の二つしかなく、それらに対応する 中間体はそれぞれ順に $K$ , $L$ である。

例 11.3   $L=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt{11}+\sqrt{13}),K=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ .

$$G=\operatorname{Gal}(L/K)\cong C_2\times C_2$$

$G$ の部分群は $G$ と $\{e\}$ のほかに 3つある。 それらに対応する中間体は

   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\sqrt{11}) ,$$   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\sqrt{13}) ,$$   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\sqrt{11\cdot 13}).$$

例 11.4   $L=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[3]{11}, \omega), \quad K=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ . $(\omega=\dfrac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ ).

$$G=\operatorname{Gal}(L/K)\cong \mathfrak{S}_3$$   (3次の対称群)

$G$ の部分群は $G$ と $\{e\}$ のほかに:

• 位数 $2$ のもの 3つ。
• 位数 $3$ のもの 1つ。

それらに対応する中間体は

• $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[3]{11}),$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[3]{11}\omega),$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[3]{11} \omega^2)$ .
• $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\omega)$ .

問題 11.1   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(\sqrt[4]{3}, \sqrt{-1})$ の部分体を二つ以上挙げ、それぞれの $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上の拡大次数を求めなさい。