代数学 III 要約 NO.12

今日のテーマ

3 次・ 4 次の方程式の解法 3 次方程式

X^{3} − aX^{2} + bX − c = 0

を解こう。この方程式の根を x_{1}, x_{2}, x_{3} とする。根が何であるか、具体的に知らないわけだが、その存在は既に知っている。 x_{1}, x_{2}, x_{3} の持つ性質から逆算して、その解き方を見ようというわけだ。

(★)  X^{3} − aX^{2} + bX − c = (X − x_{1})(X − x_{2})(X − x_{3})

を展開することにより、いわゆる根と係数の関係

x_{1} + x_{2} + x_{3} = a, x_{1}x_{2} + x_{2}x_{3} + x_{3}x_{1} = b, x_{1}x_{2}x_{3} = c

が得られる。 a, b, c は知っている数だから、 x_{1}, x_{2}, x_{3} の基本対称式の値を知っているということになる。 x_{1}, x_{2}, x_{3} の対称式の値もこれらから (x_{1}, x_{2}, x_{3} の値を個別に知らなくても) 計算できる。したがって、如何にして便利な対称式を作るか、が大事になる。

ラグランジュの分解式

(R1)  r_{1} = x_{1} + ωx_{2} + ω^{2}x_{3}, r_{2} = x_{1} + ω^{2}x_{2} + ωx_{3}

を考えてみよう。 (ただし ω = (−1 + \sqrt{−3})/2.) これら自体は x_{1}, x_{2}, x_{3} の対称式ではないが、

補題 12.1. t_{1} = r_{1}^{3} + r_{2}^{3} と t_{2} = r_{1}^{3}r_{2}^{3} はともに x_{1}, x_{2}, x_{3} の対称式である。

実際、

t_{1} = 2a^{3} − 9ab + 27c, r_{1}r_{2} = a^{2} − 3b, t_{2} = (a^{2} − 3b)^{3}.

このことから、 r_{1}^{3}, r_{2}^{3} を二次方程式

X^{2} − t_{1}X + t_{2} = 0

の二根として計算することができて、あとはその 3 乗根として r_{1}, r_{2} を計算できる。そこ

から x_{1}, x_{2}, x_{3} を出すのは連立一次方程式を解けばよい (ラグランジュの分解式二つと根と係数の関係の一番目の式) ので簡単である。

4 次方程式の場合を考えよう。根を x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} とおくと、

X^{4} − aX^{3} + bX^{2} − cX + d = (X − x_{1})(X − x_{2})(X − x_{3})(X − x_{4}).

ここから根と係数の関係が得られ、やはり x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} の対称式は a, b, c, d から (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} の値を知らなくても) 計算できる。

ラグランジュの分解式として、

r_{1} = x_{1} − x_{2} + x_{3} − x_{4}, r_{2} = x_{1} − x_{2} − x_{3} + x_{4}, r_{3} = x_{1} + x_{2} − x_{3} − x_{4}

をとる。 r_{1}^{2}, r_{2}^{2}, r_{3}^{2} の基本対称式

s_{1} = r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r_{3}^{2}, s_{2} = r_{1}^{2}r_{2}^{2} + r_{2}^{2}r_{3}^{2} + r_{3}^{2}r_{1}^{2}, s_{3} = r_{1}^{2}r_{2}^{2}r_{3}^{2}

はそれぞれ x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} の対称式になっていることが分かり、したがって a, b, c, d から計算できる。すなわち、 r_{1}^{2}, r_{2}^{2}, r_{3}^{2} は

X^{3} − s_{1}X^{2} + s_{2}X − s_{3}

の三根であるから、前段のように巾根を用いて a, b, c, d から計算できる。あとはその平方根を計算すれば、 r_{1}, r_{2}, r_{3} が計算されて、一次方程式の根として x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} が計算されるという仕組である。

問題 12.1. 3 次方程式の解法において、 x_{1}, x_{2}, x_{3} の置換 (6 つある) によって (R1) の分解式 r_{1}, r_{2} がそれぞれどのように変化するか、実際に書き下しなさい。

問題 12.2. 4 次方程式の解法で前問と同様のことを考えてみなさい。