代数学 III 要約 NO.13

ガロア対応の例

例 13.1. (11.4 の再掲) L = ℚ(\sqrt[3]{11}, ω), K = ℚ. (但し ω = \frac{−1 + \sqrt{−3}}{2}). L は K のガロア拡大である。ガロア群 G = Gal(L/K) の生成元としては

a : \begin{cases}\sqrt[3]{11} & ↦ \sqrt[3]{11}ω \\ ω & ↦ ω \end{cases} , b : \begin{cases}\sqrt[3]{11} & ↦ \sqrt[3]{11} \\ ω & ↦ ω^{2} \end{cases}

で定義される a, b がとれて、

a^{3} = e, b^{2} = e, b^{−1}ab = a^{−1}.

を満たす。ゆえに、

G = Gal(L/K) ≅ 𝔖_{3} (3 次の対称群).

G の部分群は G と {e} のほかに:

• 位数 2 のもの 3 つ。 ({e, b}, {e, ab}, {e, a^{b}}).

• 位数 3 のもの 1 つ ({e, a, a^{2}})。

それらに対応する中間体は • ℚ(\sqrt[3]{11}), ℚ(\sqrt[3]{11}ω^{2}), ℚ(\sqrt[3]{11}ω).

• ℚ(ω).

例 13.2. L = ℚ(\sqrt[4]{3}, i), K = ℚ. (但し i = \sqrt{−1}.) L は K のガロア拡大である。ガロア群 G = Gal(L/K) の生成元としては

a : \begin{cases}\sqrt[4]{3} & ↦ \sqrt[4]{3}i \\ i & ↦ i \end{cases} , b : \begin{cases}\sqrt[4]{3} & ↦ \sqrt[4]{3} \\ i & ↦ −i \end{cases}

で定義される a, b がとれて、

a^{4} = e, b^{2} = e, b^{−1}ab = a^{−1}.

を満たす。ゆえに、

G = Gal(L/K) ≅ 𝔻_{4} (二面体群)

G の部分群は G と {e} のほかに:

• 位数 2 のもの 5 つ。 ( {e, a^{2}}, {e, b}, {e, ab}, {e, a^{2}b}, {e, a^{3}b}).

• 位数 4 のもの 3 つ。 ({e, a, a^{2}, a^{3}}, {e, a^{2}, b, a^{2}b}, {e, a^{2}, ab, a^{3}b}).

それらに対応する中間体は • ℚ(\sqrt{3}, i), ℚ(\sqrt[4]{3}), ℚ(\sqrt[4]{3}i), ℚ(\sqrt[4]{3}(1 + i)), ℚ(\sqrt[4]{3}(1 − i)).

• ℚ(i), ℚ(\sqrt{3}), ℚ(\sqrt{3}i).

問題 13.1. ζ_{5} = cos(2π/5) + \sqrt{−1} sin(2π/5) とおく (1 の 5 乗根)。 ℚ(\sqrt[5]{2}, ζ_{5}) と ℚ のあいだの中間体で、 ℚ 上拡大次数が 5 のものを 2 つ以上求めよ。