代数学 III 要約 NO.15

例題 α = \sqrt{3} + 2\sqrt{5}, β = \sqrt{3} − \sqrt{5} とおくとき、 c ∈ ℚ, c ≠ −1, 2 ならば

ℚ(α + cβ) = ℚ(\sqrt{3}, \sqrt{5}).

[証明] 次のステップで証明する。 (1) [ℚ(\sqrt{3}) : ℚ] = 2.

(2) \sqrt{5} ∉ ℚ(\sqrt{3})

(3) [ℚ(\sqrt{3}, \sqrt{5}) : ℚ(\sqrt{3})] = 2.

(4) L = ℚ(\sqrt{3}, \sqrt{5}) は ℚ のガロア拡大であって、その拡大次数は 4.

(5) Gal(L/ℚ) の元 σ は\sqrt{3} の行き先 σ(\sqrt{3}) (\sqrt{3}, −\sqrt{3} の二通り。 ) と\sqrt{5} の行き先 σ(\sqrt{5}) ( \sqrt{5}, −\sqrt{5} の二通り) により定まる。しかも、それら ( 2 × 2 =) 4 通りの組み合わせはすべてガロア群の元として現れる。

(6) ℚ(\sqrt{3}, \sqrt{5}) の ℚ ベクトル空間としての基底として \{1, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{15}\} を取ることができる。

(7) c ≠ −1, 2 なら、ガロア群 Gal(L/ℚ) の元で、 α + cβ を動かさないものは、ガロア群の単位元 (恒等写像) に限る。

上のように、ガロア理論を知った上でなら、次の補題の内容が分かりやすくなる。 (この補題自体は、ガロア理論の構築そのものに必要であったので、ガロアの基本定理 (ガロア対応) を用いずに証明する必要があった。 )

補題 15.1 (補題 7.8 再掲). K は無限個の元を持つ体とする。 K 上の代数的な元 α, β が、ともに K 上分離的ならば

K(α, β) = K(α + cβ)

をみたす c ∈ K が少なくともひとつ存在する。