代数学III要約 No.15

例題

$% latex2html id marker 824 $ \alpha=\sqrt{3}+2 \sqrt{5}$$ , $% latex2html id marker 826 $ \beta=\sqrt{3}-\sqrt{5}$$ とおくとき、 $c\in$ $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ , $% latex2html id marker 831 $ c\neq -1,2$$ ならば

$\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $\displaystyle (\alpha+c\beta)=$ $\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $% latex2html id marker 836 $\displaystyle (\sqrt{3},\sqrt{5}). $$

$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $% latex2html id marker 840 $ (\sqrt{3}):$$ $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$

$% latex2html id marker 844 $ \sqrt{5}\notin$$ $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $% latex2html id marker 846 $ (\sqrt{3})$$

$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $% latex2html id marker 850 $ (\sqrt{3},\sqrt{5}):$$ $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $% latex2html id marker 852 $ (\sqrt{3})]=2$$ .

$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $% latex2html id marker 856 $ (\sqrt{3},\sqrt{5})$$ は $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ のガロア拡大であって、その拡大次数は

$\operatorname{Gal}(L/$ $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$

の元 $\sigma$ は $% latex2html id marker 868 $ \sqrt{3}$$ の行き先 $% latex2html id marker 870 $ \sigma(\sqrt{3})$$ ( $% latex2html id marker 872 $ \sqrt{3},-\sqrt{3}$$ の二通り。) と $% latex2html id marker 874 $ \sqrt{5}$$ の行き先 $% latex2html id marker 876 $ \sigma(\sqrt{5})$$ ( $% latex2html id marker 878 $ \sqrt{5},-\sqrt{5}$$ の二通り) により定まる。しかも、それら ( $2 \times 2=$ ) 4通りの組み合わせはすべてガロア群の元として現れる。

$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $% latex2html id marker 883 $ (\sqrt{3},\sqrt{5})$$ の $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ベクトル空間としての基底として $% latex2html id marker 887 $ \{1,\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{15}\}$$ を取ることができる。