微分積分学概論 AI 要約 NO.2

第 2 回目の主題 : 上限

次の公理は実数の基本的な性質である。

公理 2.1. ℝ の部分集合 A が上に有界ならば、 A は上限を持つ。

定義 2.2. ℝ の部分集合 A に対して、その上限のことを sup(A) と書く。

補題 2.3. 集合 A の上限が α であることは、次の二条件が同時に成り立つことと同値である。

(1) ∀x ∈ A (x ≤ α).

(2) ∀ϵ > 0∃x ∈ A(x > α − ϵ).

「∀x....」は、「どんな x に対しても、 .... がなりたつ」という意味、「∃x....」は、「なにかある一つの x に対しては、 .... がなりたつ」という意味で

用いる。

正の整数の全体のことをこの講義では ℤ_{>0} と書く。数列とは、数学的には次のように定義できる。

定義 2.4. 実数列 {a_{n}}_{n=1}^{∞} とは、 ℤ_{>0} から ℝ への写像 n ↦ a_{n} (すなわち、正の整数 n に実数 a_{n} を対応させる対応) のことである。

数列 {a_{n}} を単なる集合と見てそれが有界かどうか、やその上限 {a_{n}} を議論することができる。公理 2.1 により、上に有界な数列は上限を持つことがわかる。

定義 2.5. 実数列 {a_{n}} が単調増加であるとは、

∀n∀m(n ≥ m ⟹ a_{n} ≥ a_{m})

がなりたつときにいう。

もっと露骨に言えば {a_{n}} が単調増加であるとは

a_{1} ≤ a_{2} ≤ a_{3} ≤ a_{4} ≤ …

が成り立つということである。

補題 2.6. 数列 {a_{n}} を

a_{n} = ∑_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}

で定義する。このとき (1) {a_{n}} は単調増加である。

(2) {a_{n}} は有界である。

定義 2.7. 上限

sup \{∑_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}\}_{n=1}^{∞}

のことを自然対数の底とよび、 e と書く。

問題 2.1. 正の実数 r をひとつ固定したとき、

a_{n} = ∑_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}r^{k}

微分積分学概論 AI 要約 NO.2

で定義される数列 {a_{n}}_{n=1}^{∞} は上に有界であることを示しなさい。参考のために、 ℝ の性質で必要最小限のものを書いておこう。よく知っている体 ℝ から少し離れて、次のような集合 K (とその上の演算 +, ×,

元 1_{K}, 0_{K}, 関係式 >, =, <) を考える。

(1) K は体である。すなわち:

(a) (K, +) は加法群である。

(i) K の各元 x, y に対して、その和と呼ばれる元 x + y ∈ K がただひとつ定まる。

(ii) (x + y) + z = x + (y + z) (∀x, ∀y, ∀z ∈ K).

(iii) K にはゼロ元 0_{K} と呼ばれる元が存在して、任意の x ∈ K に

対して x + 0_{K} = x, 0_{K} + x = x を満たす。 (iv) K の各元 x に対して、そのマイナス元 (−x) と呼ばれる元が存

在して、 x + (−x) = 0_{K}, (−x) + x = 0_{K} を満たす。

(v) x + y = y + x.

(b) (K, ×) は乗法に関して半群をなす。すなわち、

(i) K の各元 x, y に対して、その積と呼ばれる元 xy ∈ K がただひとつ定まる。

(ii) x(yz) = (xy)z (∀x, ∀y, ∀z ∈ K).

(c) 分配法則。 (x+y)z = xz+yz, z(x+y) = zx+zy (∀x, ∀y, ∀z ∈ K).

(d) K は乗法に関する単位元 1_{K} をもつ。すなわち、任意の x ∈ K に対して x1_{K} = x, 1_{K}x = x を満たす。

(e) K の乗法は可換である。 xy = yx (∀x, ∀y ∈ K).

(f) K の 0_{K} 以外の元 x は乗法に関して逆元 x^{−1} と呼ばれる元が存在し

て、 x^{−1}x = 1_{K}, xx^{−1} = 1_{K} を満たす。

(2) K は全順序集合である。 (a) x, y ∈ K に対して、 x > y か x = y か x < y のいずれかが成り立つ。 (b) x, y, z ∈ K にたいして、「(x > y and y > z) ならば x > z」が成り

立つ。

(3) K の体の構造と順序構造は両立する。 (a) x > y ⟹ x + z > y + z.

(b) x > 0, y > 0 ⟹ xy > 0.

(4) K の任意の有界部分集合は K 内に上限を持つ。このとき、 K は実数体 ℝ と「同じ」 (順序体として同型) である。群、加法群、体について、その詳しい性質は 2 年生からの代数学で深く勉強する。