微分積分学概論AI要約 No.2

第2回目の主題 :

次の公理は実数の基本的な性質である。

公理 2.1   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の部分集合 $A$ が上に有界ならば、 $A$ は上限を持つ。

定義 2.2   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の部分集合 $A$ に対して、その上限のことを $\sup(A)$ と書く。

補題 2.3   集合 $A$ の上限が $\alpha$ であることは、次の二条件が同時に成り立つことと 同値である。

1. $\forall x \in A \quad( x \leq \alpha)$ .
2. $\forall \epsilon>0\exists x\in A (x> \alpha -\epsilon)$ .

「 $\forall x ....$ 」 は、「どんな $x$ に対しても、 $....$ がなりたつ」という意味、

「 $\exists x ....$ 」 は、「なにかある一つの $x$ に対しては、 $....$ がなりたつ」という意味で用いる。

正の整数の全体のことをこの講義では ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}$ と書く。 数列とは、数学的には次のように定義できる。

定義 2.4   実数列 $\{a_n\}_{n=1} ^\infty$ とは、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}$ から $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ への写像 $n\mapsto a_n$ (すなわち、正の整数 $n$ に実数 $a_n$ を対応させる対応)のことである。

数列 $\{a_n\}$ を単なる集合と見てそれが有界かどうか、や その上限 $\{a_n\}$ を議論することができる。公理 2.1により、 上に有界な数列は 上限を持つことがわかる。

定義 2.5   実数列 $\{a_n\}$ が単調増加であるとは、

$$\forall n \forall m (n \geq m \implies a_n \geq a_m)$$

がなりたつときにいう。

もっと露骨に言えば $\{a_n\}$ が単調増加であるとは

$$a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq a_4 \leq \dots$$

が成り立つということである。

補題 2.6   数列 $\{a_n\}$ を

$$a_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$$

で定義する。このとき

1. $\{a_n\}$ は単調増加である。
2. $\{a_n\}$ は有界である。

定義 2.7   上限

$$\sup \left\{ \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\right\}_{n=1}^\infty$$

のことを自然対数の底とよび、$e$ と書く。

問題 2.1   正の実数 $r$ をひとつ固定したとき、

$$a_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}r^k$$

で定義される数列 $\{a_n\}_{n=1} ^\infty$ は上に有界であることを示しなさい。

参考のために、 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の性質で必要最小限のものを書いておこう。

よく知っている体 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ から少し離れて、次のような集合 $K$ (とその上の演算 $+,\times$ ,元 $1_K,0_K$ ,関係式 $>,=,<$ )を考える。

1. $K$ は体である。すなわち:
   1. $(K,+)$ は加法群である。
      1. $K$ の各元 $x,y$ に対して、その和と呼ばれる元 $x+y\in K$ が ただひとつ定まる。
      2. $(x+y)+z=x+(y+z) \qquad (\forall x, \forall y, \forall z \in K)$ .
      3. $K$ にはゼロ元 $0_K$ と呼ばれる元が存在して、 任意の $x\in K$ に対して $x+0_K=x, 0_K+x=x$ を満たす。
      4. $K$ の各元 $x$ に対して、そのマイナス元 $(-x)$ と呼ばれる元が 存在して、 $x+(-x)=0_K, (-x)+x=0_K$ を満たす。
      5. $x+y=y+x$ .
   2. $(K,\times)$ は乗法に関して半群をなす。すなわち、
      1. $K$ の各元 $x,y$ に対して、その積と呼ばれる元 $x y\in K$ が ただひとつ定まる。
      2. $x(yz)=(xy)z \qquad (\forall x, \forall y, \forall z \in K)$ .
   3. 分配法則。 $(x+y)z=xz + yz , z(x+y)=zx + z y \qquad (\forall x, \forall y, \forall z \in K)$ .
   4. $K$ は乗法に関する単位元 $1_K$ をもつ。すなわち、 任意の $x\in K$ に対して $x 1_K=x, 1_K x=x$ を満たす。

   5. $K$ の乗法は可換である。 $x y =y x \quad(\forall x, \forall y \in K)$ .
   6. $K$ の $0_K$ 以外の元 $x$ は乗法に関して逆元 $x^{-1}$ と呼ばれる元が存在して、 $x^{-1} x =1_K, x x^{-1}=1_K$ を満たす。
2. $K$ は全順序集合である。
   1. $x,y\in K$ に対して、 $x>y$ か $x=y$ か $x<y$ のいずれかが成り立つ。
   2. $x,y,z\in K$ にたいして、「($x>y$ and $y >z$ ) ならば $x>z$ 」が成り立つ。
3. $K$ の体の構造と順序構造は両立する。
   1. $x>y \implies x+z > y+z$ .
   2. $x>0, y>0 \implies x y >0$ .
4. $K$ の任意の有界部分集合は $K$ 内に上限を持つ。

このとき、$K$ は実数体 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ と「同じ」(順序体として同型)である。

群、加法群、体について、その詳しい性質は2年生からの代数学で深く勉強する。