微分積分学概論AI要約 No.3

第 3回目の主題 :

いよいよ収束性の定義を述べよう。

定義 3.1   実数列 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ が実数 $c$ に収束するとは、

$$\forall \epsilon>0 \exists N \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0} \forall n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}(n>N \implies \vert a_n -c\vert<\epsilon)$$

がなりたつときに言う。

この定義が使いこなせるようになれば、この講義の目標の 80% は 達せられたと言って良い。

例題 3.2   数列 $\{a_n \}$ を

$$a_n= \begin{cases} 1 & \text{$n$ が $10$ の倍数のとき}\\ 0 & \text{その他のとき}\\ \end{cases}$$

で定義するとき、 $\{a_n \}$ は何かある値に収束するだろうか。 定義に基づいて理由を述べて答えなさい。

解答   収束しない。

(証明) 背理法で、$\{a_n \}$ がある数 $c$ に収束したとする。 収束の定義の $\epsilon$ として $\frac{1}{2}$ を採用しよう。 ある $N_0$ が存在して、

$$n>N_0 \vert a_n-c\vert <\frac{1}{2}$$ (※)

が成り立つはずである。そこで

(Small sample i).

上の $n$ として $N_0$ より大なる $10$ の倍数、たとえば、$n=10 N_0$ をとると、

$$\vert 1-c\vert<\frac{1}{2}$$

がわかり、

(Small sample ii).

上の $n$ として $N_0$ より大なる数で、 $10$ の倍数でないもの、たとえば、 $n=10 N_0+1$ をとると、

$$\vert-c\vert<\frac{1}{2}$$

がわかる。

上の (sample i,ii)をあわせると、

$$1=\vert 1-0\vert \leq \vert 1-c\vert+\vert c-0\vert<\frac{1}{2}+\frac{1}{2} =1$$

となって矛盾である。

よって、$\{a_n \}$ はいかなる値にも収束しない。

例題 3.3   数列 $\{a_n \}$ を

$$a_n= \begin{cases} 1/n & \text{$n$ が $10$ の倍数のとき}\\ 0 & \text{その他のとき}\\ \end{cases}$$

で定義するとき、 $a_n$ は何かある値に収束するだろうか。 定義に基づいて理由を述べて答えなさい。

解答   $\{a_n \}$ は 0 に収束する

(証明) 与えられた $\epsilon\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{>0}$ にたいして、 $N_0$ として、 $1/\epsilon$ より大きい整数を一つとっておく。 (そのようなもの(すなわち与えられた実数よりも大きな整数) が存在することは、「アルキメデスの原理」として 保証されているが、マアさしあたっては当り前だと思っても良い。)

この $N_0$ が収束の定義の $N$ の役割を果たすことを示そう。 実際、 $n>N_0$ なる任意の $n$ にたいして、

1. $n$ が $10$ の倍数なら、
   $$\vert a_n-0\vert =\frac{1}{n}< \frac{1}{N_0}<\epsilon$$

2. $n$ が $10$ の倍数でないなら、
   $$\vert a_n-0\vert =0<\epsilon$$
   となって、いずれの場合にせよ $\vert a_n-0\vert<\epsilon$ が成り立つからである。

問題 3.1   数列 $\{a_n \}$ を

$$a_n=(-1)^n\frac{1}{n^2}$$

で定義するとき、 $\{a_n \}$ は何かある値に収束するだろうか。 定義に基づいて理由を述べて答えなさい。

念のためアルキメデスの原理のステートメントを述べておこう。

命題 3.4 (アルキメデスの原理; ちりも積もれば山となる)   任意の正の数 $c$ ("ちり")と $M$ ("山") とに対して、 ある正の整数 $N_0$ であって、

$$N_0 c >M$$

を満たすものが存在する。

全体を $c$ で割っておけば、次のように言い換えてもよい: どのような実数に対しても、それよりも大きな正の整数が 存在する。