微分積分学概論 AI 要約 NO.5

第 5 回目の主題 : 収束に関する諸定理 (2)

定理 5.1 (再掲). 実数列 {a_{n}}, {b_{n}} はそれぞれ収束するとする。このとき、

(1) 「極限をとる」という操作は線形である。すなわち、 ∀λ, μ ∈ ℝ に対して lim_{n→∞}(λa_{n} + μb_{n}) は収束して、

lim_{n→∞}(λa_{n} + μb_{n}) = λ( lim_{n→∞} a_{n}) + μ( lim_{n→∞} b_{n})

(2) 「実数の乗法は連続である。」

lim_{n→∞}(a_{n}b_{n}) = ( lim_{n→∞} a_{n})( lim_{n→∞} b_{n})

(3) 実数の除法は「連続」である。もっと詳しく言うと、 lim_{n→∞} b_{n} ≠ 0 なら、有限個の例外を除いて b_{n} ≠ 0 であって、

lim_{n→∞}(a_{n}/b_{n}) = ( lim_{n→∞} a_{n})/( lim_{n→∞} b_{n}).

定理 5.2. 上に有界な単調増加数列 {a_{n}}_{n=1}^{∞} はその上限に収束する。

もちろん、「上」を全て「下」に、「単調増加」を単調減少に置き換えた命題 (下に有界な単調減少数列はその下限に収束する) も成り立つ。

問題 5.1. 正の整数 n に対して、

c_{n} = max{k ∈ ℤ; k^{2} ≤ n}

とおく。 (つまり c_{n} はその二乗が n を超えないような整数のうち最大のものである。 ) このとき、

(1) c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}, c_{5} を求めよ。 (答えのみで良い。 )

(2) 定義に基づいて

lim_{n→∞} \frac{1}{c_{n}} = 0

を示しなさい。

(3) さらに、

lim_{n→∞} \frac{3c_{n} + 4}{5c_{n} + 6}

を求めてそれが正しいことを定理 5.1 を用いて証明しなさい。

A α alpha アルファギリシャ文字の表。 ; • 左から順に、大文字、小 ; 文字、英語での読み、日本 ; 語での読み方を書いた。 (た ; だし、「日本語での読み方」 ; はだいたいの目安に過ぎ ; ない。 ) ; • A, B, E など、通常のア ; ルファベットと同じに見え ; る文字は、ふつうは数学で ; は用いられない。 ; • 逆に、同じ読みでも二つ ; 以上の文字がある場合、数 ; 学では二つを区別し、それ ; ぞれ別の意味で用いること ; がある。
B β beta  ベータ
Γ γ gamma ガンマ
Δ δ delta  デルタ
E ϵ, ε epsilon イプシロン
Z ζ zeta  ゼータ
H η eta  エータ
Θ θ, ϑ theta  シータ
I ι iota  イオタ
K κ kappa カッパ
Λ λ lambda ラムダ
M μ mu  ミュー
N ν nu  ニュー
Ξ ξ xi  グザイ
O o omicron オミクロン
Π π, ϖ pi  パイ
P ρ, ϱ rho  ロー
Σ σ, ς sigma シグマ
T τ tau  タウ
Υ υ upsilon ウプシロン
Φ ϕ, φ phi  ファイ
X χ chi  カイ
Ψ ψ psi  プサイ
Ω ω omega オメガ