微分積分学概論AI要約 No.5

第5回目の主題 :

定理 5.1 (再掲)   実数列 $\{a_n\}$ , $\{b_n\}$ はそれぞれ収束するとする。このとき、

1. 「極限をとる」という操作は線形である。すなわち、 $\forall \lambda,\mu\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ に対して $\lim_{n\to \infty} (\lambda a_n+ \mu b_n)$ は収束して、
   $$\lim_{n\to \infty} (\lambda a_n+ \mu b_n) = \lambda (\lim_{n\to \infty} a_n) +\mu (\lim_{n\to \infty} b_n)$$

2. 「実数の乗法は連続である。」
   $$\lim_{n\to \infty} (a_n b_n) =(\lim_{n\to \infty} a_n) (\lim_{n\to \infty} b_n)$$

3. 実数の除法は「連続」である。 もっと詳しく言うと、 $\lim_{n\to \infty} b_n\neq 0$ なら、 有限個の例外を除いて $b_n\neq 0$ であって、
   $$\lim_{n\to \infty} (a_n /b_n) =(\lim_{n\to \infty} a_n) /(\lim_{n\to \infty} b_n).$$

定理 5.2       上に有界な単調増加数列 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ はその上限に収束する。

もちろん、「上」を全て「下」に、「単調増加」を 単調減少に置き換えた命題 (下に有界な単調減少数列はその下限に収束する)も成り立つ。

問題 5.1   正の整数 $n$ に対して、

$$c_n= \max\{k \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}; k^2\leq n \}$$

とおく。(つまり $c_n$ はその二乗が $n$ を超えないような整数のうち 最大のものである。)このとき、

1. $c_1,c_2,c_3, c_4 ,c _5$ を求めよ。 (答えのみで良い。)
2. 定義に基づいて
   $$\lim_{n\to \infty} \frac{1}{c_n}=0$$
   を示しなさい。
3. さらに、
   $$\lim_{n\to \infty} \frac{3 c_n+4}{5 c_n + 6}$$
   を求めてそれが正しいことを定理5.1を用いて証明しなさい。