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微分積分学概論AI要約 No.8

\fbox{関数の極限値}

今回から、関数の話に話題の重点をうつす。

定義 8.1   集合 $ D$$ T$ とが与えられているとする。 集合 $ D$ 上の各元 $ x$ に対して、それに対応する元 $ f(x)\in T$ が (誰が見てもはっきりと) 与えられているとき、$ f$$ D$ から $ T$ への写像(もしくは関数) とよぶ。

関数と写像は同じものであるが、関数という言葉は $ T$ が数の集合の部分集合の時に言うことが多い。

これから、 「$ a$ の近くで定義されている(実数値)関数 $ f$ 」 という言い方をもちいることがある。これは、 次の二つの状況が同時に満足されていることを 言い表す言葉である。

  1. $ f$ $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ のある部分集合 $ S$ 上定義されている関数 ( $ f: S\to$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ )である。
  2. $ S$$ a$ を含むある開区間 $ I$ を部分集合として含む

定義 8.2 ( ``p.18 (II)冒頭'' )  

$ f$ は実数 $ x_0$ の近くで定義された関数であるとする。このとき、 $ x$$ x_0$ に近づくときの $ f(x)$極限値$ A$ である (「$ x\to x_0$ のとき $ f$$ A$ に収束する」とも言う) とは、

$\displaystyle \forall \epsilon>0, \exists \delta>0;
( 0<\vert x-x_0\vert<\delta  \implies  \vert f(x)-A\vert<\epsilon)
$

が満たされるときに言う。

($ x\to x_0$ の過程において、「$ x=x_0$ を許さない」というのが 一つのポイントである。これは、

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{\sin(x)-\sin(x_0)}{x-x_0}=\cos(x_0)
$

のような不定形の極限を相手にすることが多いからである。 )

補題 8.3   上の定義の状況のもとで、関数 $ f(x)$$ x$$ x_0$ に近づくときの極限値は 存在するとすれば唯一つである。

定義 8.4   $ f(x)$$ x\to x_0$ の極限を(それがもし存在すれば、)

$\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x)
$

とかく。

定理 8.5 (``定理 10'')   極限 $ \lim_{x\to x_0} f(x)$ $ \lim_{x\to x_0} g(x) $ がともに 存在すると仮定する。このとき、次のことが成り立つ。
  1. $ \displaystyle
\lim_{x\to x_0} (f(x) \pm g(x))
=\lim_{x\to x_0} f(x) \pm \lim_{x\to x_0} g(x). $
  2. $ \displaystyle \lim_{x\to x_0} c f(x)= c \lim_{x\to x_0} f(x)$ .
  3. $ \displaystyle
\lim_{x\to x_0} (f(x) g(x))
=\left(\lim_{x \to x_0} f(x)\right) \left( \lim_{x\to x_0} g(x) \right).
$
  4. さらに、 % latex2html id marker 917
$ \lim_{x\to x_0} f(x) \neq 0$ と仮定すると、

    $\displaystyle \lim_{x\to x_0} (g(x)/ f(x))
=\left(\lim_{x\to x_0} g(x)\right)/ \left( \lim_{x\to x_0} f(x) \right).
$

問題 8.1   $ f(x)=x^2 +5 x +7$ とおく。このとき $ \lim_{x\to 3}f(x)=31$ であることを 定義に基づいて(定理8.5を用いずに)証明しなさい。



2011-06-07