微分積分学概論 AI 要約 NO.9

関数の極限値

定理 9.1. (再掲)[“教科書定理 10”] 極限 lim_{x→x_{0}} f(x) と lim_{x→x_{0}} g(x) がともに存在すると仮定する。このとき、次のことが成り立つ。

(1) lim_{x→x_{0}}(f(x) ± g(x)) = lim_{x→x_{0}} f(x) ± lim_{x→x_{0}} g(x).

(2) lim_{x→x_{0}} cf(x) = c lim_{x→x_{0}} f(x).

(3) lim_{x→x_{0}}(f(x)g(x)) = ( lim_{x→x_{0}} f(x)) ( lim_{x→x_{0}} g(x)) .

(4) さらに、 lim_{x→x_{0}} f(x) ≠ 0 と仮定すると、

lim_{x→x_{0}}(g(x)/f(x)) = ( lim_{x→x_{0}} g(x)) / ( lim_{x→x_{0}} f(x)) .

数列の収束と関数の収束には次のような関係がある。

定理 9.2. x_{0} の近くで定義された関数 f にたいして、次のことは同値である。

(1) f の x → x_{0} での極限が存在する。

(2) a_{n} → x_{0} で、 a_{n} ≠ x_{0}(∀n) なる任意の数列 {a_{n}}_{n=1}^{∞} にたいして、 {f(a_{n})}_{n=1}^{∞} はある値に収束する。

問題 9.1. 正の数 ϵ > 0 が与えられているとする。このとき、次のような正の数 δ を見つけなさい。

∀b (|b − 5| < δ ⟹ (b ≠ 0 and |\frac{1}{b} − \frac{1}{5}| < ϵ))