微分積分学概論 AI 要約 NO.11

次の定理と補題の証明が残っていた:

定理 11.1. ℝ の部分集合 X で定義された関数 f : X → ℝ が与えられているする。このとき, a ∈ X に対して、次の条件は同値である。

(1) f は a で連続である。

(2) X の元ばかリからなる数列 {a_{n}}_{n=1}^{∞} で lim_{n→∞} a_{n} = a を満たすも

のに対して、常に lim_{n→∞} f(a_{n}) = f(a) が成り立つ。

補題 11.2. 数列 {a_{n}} について、次のことが成り立つ。 (1) {a_{n}} がある値 c に収束すれば、そのどの部分列も c に収束する。 (2) 逆に、 {a_{n}} のどの部分列も収束するならば、 {a_{n}} 自身も収束

する。

連続関数の性質

定義 11.3. ℝ の部分集合 D 上で定義された f が D で連続であるとは、その定義域の全ての点 a で連続であること、すなわち、

∀a ∈ D∀ϵ > 0∃δ > 0; ∀x ∈ D (|x − a| < δ ⟹ |f(x) − f(a)| < ϵ)

が成り立つときに言う。

定理 11.4 (“定理 13”). 同じ定義域 D で連続な関数 f, g について、 (1) f + g も D 上の連続関数である。

(2) fg も D 上の連続関数である。

上の定理は、下の定理の多変数版を用いるともっと鮮やかに証明される

定理 11.5. 二つの連続関数の合成関数は連続である。

系 11.6. (1) x の多項式で定義される関数 (多項式関数) は ℝ で連

続である。

(2) x の有理式で定義される関数

f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} (p, q は x の多項式)

(有理関数) は、 D_{q} = {x ∈ ℝ; q(x) ≠ 0} で連続である。

次のことは、「連続 ⟹ グラフがつながっている」ということの表現法の一つと言える。

定理 11.7 (“教科書定理 14”, 中間値の定理). 関数 f が閉区間 [a, b] で連続 (すなわち、 [a, b] の各点で連続) とする。このとき f(a) と f(b) の中間の値 γ にたいして、 f(c) = γ をみたすような c ∈ [a, b] が存在する。

上の定理は、位相空間論において「連結集合の連続像は連結である」という定理に一般化される。 (区間は実数直線の連結部分集合として特徴づけることができる。 )

問題 11.1. 閉区間 [0, 1] 上で定義された 2 つの実数値連続関数 f, g が、

f(0) > g(0), f(1) < g(1)

を満たすとき、 f(t) = g(t) をみたす t ∈ [0, 1] が存在することを示しなさい。

(定理の内容及びその証明を使ってもよい。 )