微分積分学概論 AI 要約 NO.12

逆関数定義 12.1 (“§3 (I)(p.18)”). 実数のある区間 I で定義された関数 f が狭義単調増加関数であるとは、

x_{1}, x_{2} ∈ I, x_{1} < x_{2} ⟹ f(x_{1}) < f(x_{2})

をみたすときにいう。後半の f(x_{1}) < f(x_{2}) を f(x_{1}) ≤ f(x_{2}) に置き換えることにより、 (広義) 単調増加関数が定義される。

たまに狭義単調増加の条件を「f(x) < f(x + 1)」と同じと勘違いしている学生を見かける。数列の時の類推であろうが、これはもちろん間違い。 x(sin(2πx) + 2) を考えてみれば良い。 (ウラ面の図も参照)

定理 12.2. (“定理 17 の系”) f が閉区間 [a, b] 上の狭義単調増加な連続関数であれば、

f : [a, b] → [f(a), f(b)]

の逆関数

f^{−1} : [f(a), f(b)] → [a, b]

が存在する。さらに、この f^{−1} は連続で、かつ狭義単調増加である。例 12.3. 正の整数 n に対して、 0 以上の実数を定義域とする関数 f : ℝ_{≥0} ∋ x ↦ x^{n} ∈ ℝ_{≥0} は連続であり、狭義単調増加である。この関数は全射でもあるから、 f は逆写像を持つ。この関数を

x → \sqrt[n]{x}

と書く。つまり y = \sqrt[n]{x} は y^{n} = x を満たす唯一の正の実数である。命題 12.4. 任意の正の実数 x に対して、

\sqrt[n]{x^{k}} = (\sqrt[n]{x})^{k}

がなりたつ。

Proof. y = \sqrt[n]{x} とおくと、定義により、 y^{n} = x.

(y^{k})^{n} = y^{kn} = (y^{n})^{k} = x^{k}.

ゆえに、 y^{k} は n 乗して x^{k} になる実数である。そのような実数は唯一つ、すなわち \sqrt[n]{x^{k}} しかないのであるから、両者は等しい。 □

同様にして、次のことが分かる。

命題 12.5. 正の整数 a, b, c, d が a/b = c/d を満たせば、任意の正の実数 x にたいして、

\sqrt[b]{x^{a}} = \sqrt[d]{x^{c}}

がなりたつ。

この命題がなりたつので、\sqrt[b]{x^{a}} のことを x^{\frac{a}{b}} と書いても誤解の恐れがない。

補題 12.6. 1 より大きい実数 x と有理数 q_{1}, q_{2} にたいして、

q_{1} < q_{2} ⟹ x^{q_{1}} < x^{q_{2}}

が成り立つ。問題 12.1. 次のことを示しなさい。

∀ϵ > 0∃δ > 0; ∀q ∈ ℚ(|q| < δ ⟹ |2^{q} − 1| < ϵ)

逆関数の別の例を挙げよう:

例 12.7. この例では、高校で習う三角関数の知識は既知であるとする。

(1) [−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}] ∋ x ↦ sin(x) ∈ [−1, 1] は狭義単調増加連続関数である。その逆関数のことを arcsin(x) と書く。

(2) [0, π] ∋ x ↦ cos(x) ∈ [−1, 1] は狭義単調減少連続関数である。その逆関数のことを arccos(x) と書く。

(3) (−\frac{π}{2}, \frac{π}{2}) ∋ x ↦ tan(x) ∈ ℝ は狭義単調増加連続関数である。その逆関数のことを arctan(x) と書く。

arcsin, arccos, arctan はそれぞれ sin^{−1}, cos^{−1}, tan^{−1} などと書くこともある。

中間値の定理の証明が途中になってしまったので、ここでその証明を書いておこう。 f : [a, b] → ℝ に対して、 f(a) < γ < f(b) と仮定する。

S = {c ∈ [a, b]; ∀x ∈ [a, c] にたいしてf(x) ≤ γ}

とおく。仮定 f(a) < γ により a ∈ S がわかる。とくに、 S ≠ ∅ である。他方で S は [a, b] の部分集合だから、有界。ゆえに、 S は上限 c_{0} をもつ。

(1) f(c_{0}) > γ の場合。仮定 (f(a) < γ) により c_{0} ≠ a がわかる。 f は c_{0} において連続であるから、 ϵ = f(c_{0}) − γ(> 0) に対して、ある δ > 0 が存在して、

(x ∈ [a, b] and |x − c_{0}| < δ) ⟹ |f(x) − f(c_{0})| < ϵ.

とくに、 x として x_{0} = max(c_{0} − δ/2, a) をとれば, |x_{0} − c_{0}| < δ かつ x_{0} ∈ [a, b] であるから、

(12.1)  f(x_{0}) > f(c_{0}) − ϵ = γ.

他方で c_{0} は S の上限であるから、 S ∩ (x_{0}, c_{0}] にはある元 s_{0} が存在する。 x_{0} < s_{0} であることと、 S の定義をみると、 f(x_{0}) ≤ γ がわかる。これは (12.1) 式と矛盾する。

(2) f(c_{0}) < γ の場合。仮定 (f(b) > γ) により c_{0} ≠ b がわかる。 f は c_{0} において連続であるから、 ϵ = γ − f(c_{0}) に対して、ある δ > 0 が存在して、

(x ∈ [a, b] and |x − c_{0}| < δ) ⟹ |f(x) − f(c_{0})| < ϵ.

とくに、 x ∈ (c_{0} − δ, c_{0} + δ) ∩ [a, b] なる任意の x に対して、

(12.2)  f(x) < f(c_{0}) + ϵ = γ

他方で c_{0} は S の上限であるから、 S ∩ (c_{0} − δ, c_{0}] にはある元 s_{0} が存在する。 S の定義により、

∀x ∈ [a, s_{0}] に対してf(x) ≤ γ.

このことと (12.2) 式を併せると、 c_{0} + δ/2 ∈ S が結論され、これは c_{0} の定義に矛盾する。

以上により、 f(c_{0}) = γ.

参考までに定義 12.1 の下の注意で述べた x(sin(2πx) + 2) のグラフを載せておこう。