微分積分学概論AI要約 No.12

定義 12.1 (``§3 (I)(p.18)'')   実数のある区間 $I$ で定義された関数 $f$ が狭義単調増加関数であるとは、

$$x_1,x_2\in I , x_1< x_2 \implies f(x_1)< f(x_2)$$

をみたすときにいう。

たまにこの条件を $f(x) < f(x+1)$ と同じと勘違いしている学生を 見かけるが、これはもちろん違う。 $\sin(2 \pi x)$ や、 $x (\sin(2\pi x))^2$ を考えてみれば良い。(ウラ面の図も参照)

定理 12.2 (``定理17の系'')   $f$ が閉区間 $[a,b]$ 上の狭義単調増加な連続関数であれば、

$$f: [a,b] \to [f(a), f(b)]$$

の逆関数

$$f^{-1}: [f(a),f(b)]\to [a,b]$$

が存在する。 さらに、この $f^{-1}$ は連続で、かつ狭義単調増加である。

例 12.3   正の整数 $n$ に対して、 0 以上の実数を定義域とする関数 $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{\geq 0}\ni x\mapsto x^n \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{\geq 0}$ は連続であり、狭義単調増加である。この関数は全射でもあるから、 $f$ は逆写像を持つ。この関数を

$$x \to \sqrt[n]{x}$$

と書く。 つまり $y=\sqrt[n]{x}$ は $y^n=x$ を満たす唯一の正の実数である。

命題 12.4   任意の正の実数 $x$ に対して、

$$\sqrt[n]{x^{k}}= (\sqrt[n]{x})^k$$

がなりたつ。

Proof. $y=\sqrt[n]{x}$ とおくと、定義により、 $y^n=x$ .

$$(y^k)^n=y^{k n}=(y^n)^k=x^k.$$

ゆえに、$y^k$ は $n$ 乗して $x^k$ になる実数である。 そのような実数は唯一つ、すなわち $\sqrt[n]{x^k}$ しかないのであるから、 両者は等しい。 $\qedsymbol$

同様にして、次のことが分かる。

命題 12.5   正の整数 $a,b,c,d$ が $a/b=c/d$ を満たせば、任意の実数 $x$ にたいして、

$$\sqrt[b]{x^a} =\sqrt[d]{x^c}$$

がなりたつ。

この命題がなりたつので、 $\sqrt[b]{x^a}$ のことを $x^{\frac{a}{b}}$ と 書いても誤解の恐れがない。

例 12.6   この例では、高校で習う三角関数の知識は 既知であるとする。

1. $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \ni x\mapsto \sin(x) \in [-1,1]$ は狭義単調増加連続関数である。その逆関数のことを $\arcsin(x)$ と書く。
2. $[0,\pi] \ni x\mapsto \cos(x) \in [-1,1]$ は狭義単調減少連続関数である。その逆関数のことを $\arccos(x)$ と書く。
3. $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \ni x\mapsto \tan(x) \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ は狭義単調増加連続関数である。その逆関数のことを $\arctan(x)$ と書く。

$\arcsin,\arccos,\arctan$ はそれぞれ $\sin^{-1},\cos^{-1}, \tan^{-1}$ などと書くこともある。

問題 12.1   次のことを示しなさい。

$$\forall \epsilon>0 \exists \delta>0; \forall q\in$$   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$(\vert q\vert<\delta \implies \vert 2^q-1\vert<\epsilon)$$

中間値の定理の証明が途中になってしまったので、ここでその証明を書いておこう。

$f: [a,b]\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ に対して、 $f(a)<\gamma <f(b)$ と仮定する。

$$S=\{c \in [a,b]; \forall x \in [a,c]$$ にたいして $$f(x)\leq \gamma \}$$

とおく。 仮定 $f(a)<\gamma$ により $a\in S$ がわかる。 とくに、 $S \neq \emptyset$ である。 他方で $S$ は $[a,b]$ の部分集合だから、 有界。ゆえに、$S$ は上限 $c_0$ をもつ。

1. $f(c_0) > \gamma$ の場合。

   仮定 ( $f(a)<\gamma$ ) により $c_0 \neq a$ がわかる。 $f$ は $c_0$ において連続であるから、 $\epsilon = f(c_0)-\gamma(>0)$ に対して、 ある $\delta>0$ が存在して、

   $$(x\in [a,b ]$$ and $$\vert x-c_0\vert <\delta )\implies \vert f(x)-f(c_0)\vert <\epsilon .$$
   とくに、$x$ として $x_0=\max(c_0-\delta/2,a)$ をとれば, $\vert x_0-c_0\vert <\delta$ かつ $x_0\in [a,b]$ であるから、

   $$f(x_0) > f(c_0)-\epsilon =\gamma.$$ (12.1)

   
   
   他方で $c_0$ は $S$ の上限であるから、 $S \cap (x_0,c_0]$ には ある元 $s_0$ が存在する。$x_0<s_0$ であることと、$S$ の定義を みると、 $f(x_0 )\leq \gamma$ がわかる。 これは (12.1)式と矛盾する。

2. $f(c_0) <\gamma$ の場合。

   仮定 ( $f(b)>\gamma$ ) により $c_0\neq b$ がわかる。 $f$ は $c_0$ において連続であるから、 $\epsilon = \gamma- f(c_0)$ に対して、 ある $\delta>0$ が存在して、

   $$(x\in [a,b ]$$    and $$\vert x-c_0\vert <\delta )\implies \vert f(x)-f(c_0)\vert <\epsilon .$$
   とくに、 $x\in (c_0-\delta, c_0+\delta)\cap [a,b]$ なる 任意の $x$ に対して、

   $$f(x) < f(c_0)+\epsilon =\gamma$$ (12.2)

   
   
   他方で $c_0$ は $S$ の上限であるから、 $S \cap (c_0-\delta,c_0]$ には ある元 $s_0$ が存在する。$S$ の定義により、
   $$\forall x \in [a,s_0]$$    に対して $$f(x)\leq \gamma.$$
   このことと (12.2)式を併せると、 $c_0+\delta/2\in S$ が結論され、 これは $c_0$ の定義に矛盾する。

以上により、 $f(c_0)=\gamma$ .

参考までに定義 12.1 の下の注意で述べた $x (\sin(x/2\pi))^2$ のグラフを 載せておこう。