微分積分学概論 AI 要約 NO.13

定理 13.1 (最大値の定理). 有界閉区間 [a, b] 上の連続関数は必ず最大値を持つ。

この定理は位相空間論においては「コンパクト集合の像はコンパクトである」という定理 (あるいはその系の「コンパクト集合上の連続関数は最大値を持つ」という定理) に一般化される。

以下は連続関数の諸性質の復習にあてる。

問題 13.1. ℝ ∋ x ↦ |x| ∈ ℝ は連続であることを証明しなさい。 (ヒン

ト:直接証明、もしくは |x| = \sqrt{x^{2}} と前回の結果を用いよ。 )

問題 13.2. 閉区間 [a, b] 上の実数値連続関数 f に対し、 |f| は [a, b] で最大値を持つことを証明せよ。