微分積分学概論AI要約 No.13

定理 13.1 (最大値の定理)   有界閉区間 $[a,b]$ 上の連続関数は必ず最大値を持つ。

この定理は位相空間論においては「コンパクト集合の像は コンパクトである」という定理(あるいはその系の「コンパクト集合上の 連続関数は最大値を持つ」という定理) に一般化される。

以下は連続関数の諸性質の復習にあてる。

問題 13.1   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ni x \mapsto \vert x\vert \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ は連続であることを証明しなさい。 (ヒント:直接証明、もしくは $\vert x\vert=\sqrt{x^2}$ と前回の結果を用いよ。)

問題 13.2   閉区間 $[a,b]$ 上の実数値連続関数 $f$ に対し、 $\vert f\vert$ は $[a,b]$ で最大値を持つことを証明せよ。