微分積分学概論AI要約 No.14

定理 14.1   正の数 $a$ にたいして、

   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$\ni q\mapsto a^q \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$

は $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ 上の連続関数に拡張されて $a>1$ ならば単調増加、$a<1$ ならば単調減少、 $a=1$ なら定数関数になる。 $x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ におけるこの関数の値を $a^x$ と書く。

Proof. $x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ にたいして、$x$ に収束する有理数列 $\{q_j\}$ をとり、 $\{a^{q_j}\}$ を考えると、これはコーシー列であることがわかる。 ゆえに、この列はある実数に収束する。じつはこの実数は $x$ の近似列 $\{q_j\}$ の取り方によらないことがわかるから、これを $a^x$ と書いて差し支えない。 用意に分かるように $x\mapsto a^x$ は単調である。 $x\to a^x$ が連続であることはレポート問題12.1の解答(次ページ参照)と同様の方法により分かる。

$\qedsymbol$

$e$ の定義を思い出しておこう。

$$e= \lim_{n\to \infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n$$

定義 14.2   指数関数 $e^x$ の逆関数を $\log(x)$ で書き、$x$ の自然対数とよぶ。

逆関数の定理により、$\log(x)$ は $x$ の単調増加連続関数であることが わかる。

数学では断らない限り対数の底としては $e$ をとり、 自然対数を考えるのが普通である。

補題 14.3   $a^x=e^{x \log(a)}$ .

定理 14.4   次のことがなりたつ。

1. $\lim_{x\to \pm \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$ .
2. $\lim_{x\to 0}(1+x) ^{1/x}=e$ .
3. $\lim_{x\to 0} \frac{\log(1+x)}{x}=1$ . ($\log(x)$ の微分の基本になる式)
4. $\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$ . ($e^x$ の微分の基本になる式)

上の定理は $e^x$ の $x\to 0$ の挙動を記述するものだが、 $x\to \infty$ のときの挙動も大事である。

補題 14.5  

$$\lim_{x\to \infty} \frac{x}{e^x}=0$$

例題 14.6  

$$\lim_{x\to \infty} \frac{x^3}{e^x}=0$$

を証明せよ。

問題 14.1  

$$\lim_{x\to \infty} \frac{x^7+x^5}{e^x}=0$$

を証明せよ。

前回、 $f,g:X\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ が連続ならば $f+g: X\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ や $f\cdot g: X\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ も連続であることを証明(復習)した。

このことは、つぎのようなことを使えば合成関数の連続性により 証明できてスッキリする。

1. $f,g:X\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ が連続なら $(f,g): X \ni x \mapsto (f(x),g(x))\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ は連続。

2. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2 \ni (x,y)\mapsto x+y \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ は連続。

3. $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2 \ni (x,y)\mapsto x\cdot y \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ は連続。

但し、これらは (解析学Iで習う予定の) 多変数関数の連続性の議論を必要とする。

問題12.1 解答。 任意の $\epsilon>0$ に対して、 $\epsilon_0=\min(\epsilon, \frac{1}{2})$ とおく。 ( $\epsilon$ の代わりに $\epsilon_0$ を考えることによって、 $\epsilon$ が大きい時の心配をしなくて済む。) $N= \lfloor \frac{1}{\epsilon_0} \rfloor +1$ とおく。 $N$ は $\frac{1}{N}<\epsilon_0$ となるような整数である。 そうしておいて、

$q$ を $\vert q\vert<\delta$ を満たすような任意の有理数としよう。 すなわち、

$$-\delta <q < \delta.$$

No.12 の講義中に述べたように、 $x$ が有理数の範囲では $x \mapsto 2^x$ は単調増加であるから、 $q$ , $\frac{1}{N}$ が有理数であることに注意して

$$2^{-\frac{1}{N}}=2^{-\delta}<2^{q} < 2^\delta =2^{\frac{1}{N}}.$$ (14.1)

他方で、

$$2 {\underset{\tiny\text{\ovalbox{$N$ の定義}}}{<}} N \epsilon_0 {\underset{\tiny\text{\ovalbox{二項定理}}}{<}}(1+\epsilon_0)^N.$$

(二項定理のところは数学的帰納法の議論で置き換えても良い。) ゆえに、$N$ 乗根の単調性により、

$$2^{\frac{1}{N}} < 1 +\epsilon_0$$ (14.2)

がわかる。また、両辺の逆数を取ると

$$2^{-\frac{1}{N}} > \frac{1}{1+\epsilon_0} {\underset{\tiny\text{\ovalbox{$\epsilon_0<1$}}}{>}} 1-\epsilon_0.$$ (14.3)

(後の不等式では $0<\epsilon_0 <1$ より $1 >1-\epsilon_0^2 = (1+\epsilon_0)(1-\epsilon_0)$ が従うことを用いている。)

(14.1), (14.2), (14.3) を組み合わせることにより、

$$-\epsilon_0 <2^q -1 < \epsilon_0$$

すなわち、

$$\vert 2^q -1\vert <\epsilon_0 \leq \epsilon$$

がわかる。 $\qedsymbol$ ARRAY(0x8edbfa0)