微分積分学概論 AI 要約 NO.16

第 16 回目:

問題 16.1. f : ℝ → ℝ を f(x) = x^{4} により定める。このとき、以下の問に答えなさい。

(1) f は任意の a ∈ ℝ において連続であることを定義に従って示しなさい。

(2) f は [−5, 5] において一様連続であることを定義に従って示しなさい。

微分積分学概論 AI 要約 NO.16

解答 (1) 任意の正の数 ϵ > 0 に対して、[figure: δ = min(1, \frac{ϵ}{4|a|^{3}+6|a|^{2}+4|a|+1}) とおく。]

(この式の分数の方の分母に現れる 4|a|^{3} + 6|a|^{2} + 4|a| + 1 は 1 以上だから割り算は常に実行できることにも注意しておく。 )

|x − a| < δ なる任意の実数 x に対して、 t = x − a とおこう。

(ア)  |t| < 1

と

(イ)  |t| < \frac{ϵ}{4|a|^{3} + 6|a|^{2} + 4|a| + 1}

という 2 つの式が成り立つことに注意しながら以下のように計算する。

|f(x) − f(a)| =

|f(a + t) − f(a)| =|(a + t)^{4} − a^{4}|
=_{[figure: 二項定理]}|4a^{3}t + 6a^{2}t^{2} + 4at^{3} + t^{4}|
≤_{[figure: 三角不等式]}|4a^{3}t| + |6a^{2}t^{2}| + |4at^{3}| + |t^{4}| = 4|a|^{3}|t| + 6|a|^{2}|t|^{2} + 4|a||t|^{3} + |t|^{4}
≤_{[figure: (ア)]}4|a|^{3}|t| + 6|a|^{2}|t| + 4|a||t| + |t| = (4|a|^{3} + 6|a|^{2} + 4|a| + 1)|t|

≤_{[figure: (イ)]}ϵ.

このことから f は a で連続であることが結論される。 (2)

任意の ϵ > 0 に対して、

δ = min(1, \frac{ϵ}{4 · 5^{3} + 6 · 5^{2} + 4 · 5 + 1})(= min(1, \frac{ϵ}{(5 + 1)^{4} − 5^{4}} ) = min(1, \frac{ϵ}{671}))

とおく。すると、 |x − a| < δ をみたすような任意の x, a ∈ [−5, 5] に対して、 (1) と同様に t = x − a とおくと

|f(x)−f(a)| ≤_{[figure: (1) と同様]}(4|a|^{3}+6|a|^{2}+4|a|+1)|t| ≤_{[figure: a ∈ [−5, 5], 下記注も参照]}671|t| < ϵ.

このことから f は [−5, 5] で一様連続であることが結論される。

(注: この不等号の左辺は正の数ばかりを足していることに注意。当然、各項が大きいほど大きくなるので、 |a|^{3}, |a|^{2}, |a| をそれぞれ 5^{3}, 5^{2}, 5 に置き換えたほうが大きくなる。 )