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微分積分学概論AI要約 No.16

第16回目: 試験。

問題 16.1   $ f:$$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ \to$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ f(x)=x^4$ により定める。このとき、以下の問に答えなさい。
  1. $ f$ は 任意の $ a\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ において連続であることを定義に従って示しなさい。
  2. $ f$$ [-5,5]$ において一様連続であることを定義に従って示しなさい。

解答

(1) 任意の正の数 $ \epsilon>0$ に対して、 $ \delta=\min(1,
\frac{\epsilon}{4 \vert a\vert^3+6\vert a\vert^2+4\vert a\vert+1} )
$ とおく。

(この式の分数の方の分母に現れる $ 4 \vert a\vert^3+6\vert a\vert^2+4\vert a\vert+1$$ 1$ 以上だから割り算は常に 実行できることにも注意しておく。)

$ \vert x-a\vert<\delta$ なる任意の実数 $ x$ に対して、$ t=x-a$ とおこう。

(ア) $\displaystyle \vert t\vert<1$

(イ) $\displaystyle \vert t\vert<\frac{\epsilon}{4 \vert a\vert^3+6\vert a\vert^2+4\vert a\vert+1}$

という2つの式が成り立つことに注意しながら以下のように計算する。

    $\displaystyle \vert f(x)-f(a)\vert=$
    $\displaystyle \vert f(a+t)-f(a)\vert=$ $\displaystyle \vert(a+t)^4-a^4\vert$
    $\displaystyle {\underset{\tiny\text{\ovalbox{二項定理}}}{=}}$ $\displaystyle \vert 4 a^3 t + 6 a^2 t^2 +4 a t^3 + t^4\vert$
    % latex2html id marker 830
$\displaystyle {\underset{\tiny\text{\ovalbox{三角不等式}}}{\leq}}$ $\displaystyle \vert 4 a^3 t\vert + \vert 6 a^2 t^2\vert +\vert 4 a t^3\vert +\v...
... \vert a\vert^2 \vert t\vert^2 + 4 \vert a\vert \vert t\vert^3 + \vert t\vert^4$
    % latex2html id marker 832
$\displaystyle {\underset{\tiny\text{\ovalbox{(ア)}}}{\leq}}$ $\displaystyle 4 \vert a\vert^3 \vert t\vert + 6 \vert a\vert^2 \vert t\vert +4 ...
...t t\vert =(4 \vert a\vert^3 + 6 \vert a\vert^2 +4 \vert a\vert + 1)\vert t\vert$
    % latex2html id marker 834
$\displaystyle {\underset{\tiny\text{\ovalbox{(イ)}}}{\leq}} \epsilon.$

このことから $ f$$ a$ で連続であることが結論される。

(2)

任意の $ \epsilon>0$ に対して、

$\displaystyle \delta=
\min(1,\frac{\epsilon}{4\cdot 5^3+6 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5 + 1 })
(=\min(1,\frac{\epsilon}{(5+1)^4-5^4})=\min(1,\frac{\epsilon}{671}))
$

とおく。 すると、 $ \vert x-a\vert<\delta$ をみたすような任意の $ x,a \in [-5,5]$ に対して、 (1)と同様に $ t=x-a$ とおくと

% latex2html id marker 850
$\displaystyle \vert f(x)-f(a)\vert {\underset{\tiny...
...xt{\ovalbox{$a\in [-5,5]$, 下記注も参照}}}{\leq }} 671 \vert t\vert <\epsilon.
$

(注: この不等号の左辺は正の数ばかりを足していることに注意。 当然、各項が大きいほど大きくなるので、 $ \vert a\vert^3,\vert a\vert^2,\vert a\vert$ をそれぞれ $ 5^3,5^2,5$ に置き換えたほうが大きくなる。)

このことから $ f$$ [-5,5]$ で一様連続であることが結論される。


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2011-08-03