微分積分学概論AI要約 No.16

第16回目: 試験。

• 持ち込みは何でも可である。ただし、他人の迷惑になるもの、 および通信機能をもつものを除く。
• 解答用紙には必ず学生番号と名前を記入すること。
• 解答用紙の裏面を用いてもよいが、その場合にはそれが分かるように 明記すること。
• この試験の解答例については http://www.math.kochi-u.ac.jp/docky/kogi/ からたどって見ることができるようにする予定である。
• 成績は理学部2号棟6F数学コース掲示板において確認できるようにする。 掲示があるまでは成績の照会等には応じられない。

問題 16.1   $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ を $f(x)=x^4$ により定める。このとき、以下の問に答えなさい。

1. $f$ は 任意の $a\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ において連続であることを定義に従って示しなさい。
2. $f$ は $[-5,5]$ において一様連続であることを定義に従って示しなさい。

解答

(1) 任意の正の数 $\epsilon>0$ に対して、 $\delta=\min(1, \frac{\epsilon}{4 \vert a\vert^3+6\vert a\vert^2+4\vert a\vert+1} )$ とおく。

(この式の分数の方の分母に現れる $4 \vert a\vert^3+6\vert a\vert^2+4\vert a\vert+1$ は $1$ 以上だから割り算は常に 実行できることにも注意しておく。)

$\vert x-a\vert<\delta$ なる任意の実数 $x$ に対して、$t=x-a$ とおこう。

$$\vert t\vert<1$$ (ア)

と

$$\vert t\vert<\frac{\epsilon}{4 \vert a\vert^3+6\vert a\vert^2+4\vert a\vert+1}$$ (イ)

という2つの式が成り立つことに注意しながら以下のように計算する。

$$\vert f(x)-f(a)\vert=$$

$$\vert f(a+t)-f(a)\vert= \vert(a+t)^4-a^4\vert$$

$${\underset{\tiny\text{\ovalbox{二項定理}}}{=}} \vert 4 a^3 t + 6 a^2 t^2 +4 a t^3 + t^4\vert$$

$${\underset{\tiny\text{\ovalbox{三角不等式}}}{\leq}} \vert 4 a^3 t\vert + \vert 6 a^2 t^2\vert +\vert 4 a t^3\vert +\v... ... \vert a\vert^2 \vert t\vert^2 + 4 \vert a\vert \vert t\vert^3 + \vert t\vert^4$$

$${\underset{\tiny\text{\ovalbox{(ア)}}}{\leq}} 4 \vert a\vert^3 \vert t\vert + 6 \vert a\vert^2 \vert t\vert +4 ... ...t t\vert =(4 \vert a\vert^3 + 6 \vert a\vert^2 +4 \vert a\vert + 1)\vert t\vert$$

$${\underset{\tiny\text{\ovalbox{(イ)}}}{\leq}} \epsilon.$$

このことから $f$ は $a$ で連続であることが結論される。

(2)

任意の $\epsilon>0$ に対して、

$$\delta= \min(1,\frac{\epsilon}{4\cdot 5^3+6 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5 + 1 }) (=\min(1,\frac{\epsilon}{(5+1)^4-5^4})=\min(1,\frac{\epsilon}{671}))$$

とおく。 すると、 $\vert x-a\vert<\delta$ をみたすような任意の $x,a \in [-5,5]$ に対して、 (1)と同様に $t=x-a$ とおくと

$$\vert f(x)-f(a)\vert {\underset{\tiny... ...xt{\ovalbox{$a\in [-5,5]$, 下記注も参照}}}{\leq }} 671 \vert t\vert <\epsilon.$$

(注: この不等号の左辺は正の数ばかりを足していることに注意。 当然、各項が大きいほど大きくなるので、 $\vert a\vert^3,\vert a\vert^2,\vert a\vert$ をそれぞれ $5^3,5^2,5$ に置き換えたほうが大きくなる。)

このことから $f$ は $[-5,5]$ で一様連続であることが結論される。