論理と集合要約 No.5

第5回目の主題 :

問題 5.1   $2 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\subset 5 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ だろうか。

問題 5.2   $2 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\subset 6 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ だろうか。

◎積集合

定義 5.1   集合 $X,Y$ に対して、

$$\{(x,y); x \in X , y\in Y\}$$

を $X$ と $Y$ の積集合といい、 $X\times Y$ で書き表す。

もっと一般に、

定義 5.2   集合族 $\{X_\lambda\}_\lambda \in \Lambda$ に対して、

$$\{(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}; x_\lambda \in X_\lambda \}$$

を $\{X_\lambda\}$ の積集合といい、 $\prod_{\lambda \in \Lambda}X_\lambda$ で書き表す。

積集合は「積の集合」ではない。そのことを強調するため、 積集合のことを「デカルト積集合」とか「集合としての直積」と呼ぶこともある。

$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\times$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ のことを $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ , $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2\times$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ のことを $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^3$ 等と 略記する。

問題 5.3   $D_1=\{(x,y)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2; \vert x\vert+\vert y\vert<1 \}$ , $B_1=\{(x,y)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2; x^2+y^2<1\}$ とおくとき、 $D_1 \subset B_1$ だろうか。

問題 5.4   $D_{1/2}=\{(x,y)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2; \vert x\vert+\vert y\vert<1/2 \}$ , $B_{1/2}=\{(x,y)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2; x^2+y^2<1/4\}$ とおくとき、 $D_{1/2} \subset B_{1/2}$ だろうか。

問題 5.5   正の実数 $r$ に対して、 $D_{r}=\{(x,y)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2; \vert x\vert+\vert y\vert<r \}$ , $B_{r}=\{(x,y)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2; x^2+y^2<r^2\}$ とおくとき、 $D_r \subset B_r$ だろうか。

問題 5.6   前問に加えて、 $E_{r}=\{(x,y)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2; \vert x\vert<r$    and $\vert y\vert <r\}$ と おくとき、 $B_r \subset E_r$ だろうか。

問題 5.7   前問に続く。 $E_r \subset D_r$ だろうか。また、 $E_r \subset D_{2 r }$ だろうか。

問題 5.8  

$$\bigcup _{n=1}^\infty (0, n)=(0,+\infty)$$

であることを示しなさい。

問題 5.9  

$$\bigcap_{n=1}^\infty (0, \frac{1}{n}) =\emptyset$$

であることを示しなさい。

問題 5.10  

$$\bigcap_{\epsilon>0} (-\infty, 1+\epsilon) =(-\infty, 1]$$

であることを示しなさい。 前回の問題4.8 およびそのコメントは間違っていた. 上記がただしい。(Web 版は修正済み).

問題 5.11   問題 5.5 と同じ記号を使うとき、

$$\bigcap_{\epsilon>0} B_{1+\epsilon} =\{(x,y)\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^2; x^2+y^2\leq 1\}$$

が成り立つことを示しなさい。