論理と集合要約 NO.6

第 6 回目の主題 : 集合の演算

正の実数 r に対して、 B_{r} = {(x, y) ∈ ℝ^{2}; x^{2} +y^{2} < r^{2}}, B̄_{r} = {(x, y) ∈ ℝ^{2}; x^{2} +y^{2} < r^{2}} とおく。問題 6.1.

⋃_{n=1}^{∞}(0, n) = (0, +∞)

であることを示しなさい。問題 6.2.

⋂_{n=1}^{∞}(0, \frac{1}{n}) = ∅

であることを示しなさい。問題 6.3.

⋂_{ϵ>0}(−∞, 1 + ϵ) = (−∞, 1]

であることを示しなさい。問題 6.4.

⋂_{ϵ>0} B_{1+ϵ} = {(x, y) ∈ ℝ^{2}; x^{2} + y^{2} ≤ 1}

が成り立つことを示しなさい。

v = (v_{1}, v_{2}, …, v_{n}) ∈ ℝ^{n} にたいし、そのノルムを

||v|| = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + ⋯ + v_{n}^{2}}

で定義する。このとき、 v = (v_{1}, v_{2}, …, v_{n}) ∈ ℝ^{n} , w = (w_{1}, w_{2}, …, w_{n}) にたいして、

||v + w|| ≤ ||v|| + ||w||

がなりたつ。 (三角不等式。 )

一般に、 a ∈ ℝ^{n} と r > 0 に対して、

B_{r}(a) = {x ∈ ℝ^{n}; ||x − a|| < r}

(a を中心とする半径 r のボール。 ) とおく。問題 6.5. v ∈ ℝ^{n} のノルムを R とおくと、

B_{r}(v) ⊂ B_{(R+r)}(0)

が成り立つことを証明せよ。

ℝ^{n} の部分集合 U は

∀x ∈ U∃r ∈ ℝ_{>0}B_{r}(x) ⊂ U

を満たすとき、 (通常位相に関して) 開集合であると呼ばれる。開集合とは、「境界を含まない集合」ということの数学的な表現である。

「境界」という言葉自体も数学的に表現できるが、ここではそこまでは踏み込まないことにする。

問題 6.6. 開球 B_{1}(0) は開集合であることを示しなさい。問題 6.7. 閉球 B̄_{1}(0) は開集合ではないことを示しなさい。問題 6.8. ℝ^{2} の部分集合 {(x, 0); x ∈ ℝ} は開集合ではないことを示しなさい。