論理と集合要約 No.6

第6回目の主題 :

正の実数 $r$ に対して、 $B_{r}=\{(x,y)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2; x^2+y^2<r^2\}$ , ${\bar B}_{r}=\{(x,y)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2; x^2+y^2<r^2\}$ とおく。

問題 6.1  

$$\bigcup _{n=1}^\infty (0, n)=(0,+\infty)$$

であることを示しなさい。

問題 6.2  

$$\bigcap_{n=1}^\infty (0, \frac{1}{n}) =\emptyset$$

であることを示しなさい。

問題 6.3  

$$\bigcap_{\epsilon>0} (-\infty, 1+\epsilon) =(-\infty, 1]$$

であることを示しなさい。

問題 6.4  

$$\bigcap_{\epsilon>0} B_{1+\epsilon} =\{(x,y)\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^2; x^2+y^2\leq 1\}$$

が成り立つことを示しなさい。

$v=(v_1,v_2,\dots,v_n) \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ にたいし、そのノルムを

$$\vert\vert v\vert\vert=\sqrt{v_1^2+v_2^2+ \dots + v_n^2}$$

で定義する。このとき、 $v=(v_1,v_2,\dots,v_n) \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ , $w=(w_1,w_2,\dots, w_n)$ にたいして、

$$\vert\vert v+w\vert\vert \leq \vert\vert v\vert\vert +\vert\vert w\vert\vert$$

がなりたつ。(三角不等式。)

一般に、 $a\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ と $r>0$ に対して、

$$B_r(a)=\{ x \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^n; \vert\vert x-a\vert\vert< r\}$$

($a$ を中心とする半径 $r$ のボール。)とおく。

問題 6.5   $v\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ の ノルムを $R$ とおくと、

$$B_r(v) \subset B_{(R+r)}(0)$$

が成り立つことを証明せよ。

$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^n$ の部分集合 $U$ は

$$\forall x \in U \exists r \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$_{>0} B_r(x) \subset U$$

を満たすとき、(通常位相に関して)開集合であると呼ばれる。 開集合とは、「境界を含まない集合」ということの数学的な表現である。

「境界」という言葉自体も数学的に表現できるが、 ここではそこまでは踏み込まないことにする。

問題 6.6   開球 $B_1(0)$ は開集合であることを示しなさい。

問題 6.7   閉球 $\bar{B}_1(0)$ は開集合ではないことを示しなさい。

問題 6.8   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ の部分集合 $\{(x,0) ; x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\}$ は開集合ではないことを示しなさい。