論理と集合要約 No.10

第10回目の主題 :

定義 10.1 (再)   実数 $x$ に対して、$x$ を超えないような整数のうち最大のものを $\lfloor x \rfloor$ と書く(floor of $x$ と読む。)。 例えば、

$$\lfloor 3.14 \rfloor =3, \quad \lfloor -3.14 \rfloor= -4, \quad$$

である。また、任意の整数 $n$ に対して、 $\lfloor n \rfloor = n$ である。

問題 10.1 (再)   $X={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $Y={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ とおく。 写像 $f :X \ni x \to 2 x \in Y$ と $g :Y \ni x \to \lfloor x/2 \rfloor \in X$ にたいして、

1. $g \circ f={\operatorname{id}}_X$ であることを示しなさい。
2. $f \circ g \neq {\operatorname{id}}_Y$ であることを示しなさい。
3. $f$ , $g$ はそれぞれ全射、単射、全単射だろうか。

上の例のように、 $g\circ f={\operatorname{id}}$ を満たすとき、$g$ は $f$ の左逆写像で あるという。($g$ からみれば $f$ は $g$ の右逆写像である。このとき、 問題9.2の結果により、 $g$ が全射で $f$ が単射であるのがわかることに注意しておこう。 )

問題 10.2   $g_1: {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ を

$$g_1(n)= \begin{cases} n/2 &\text{($n$ が偶数の時)} \\ 0 &\text{($n$ が奇数の時)} \end{cases}$$

と定義すれば、 問題 10.1 の $f$ に対し $g_1 \circ f={\operatorname{id}}_{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ が成り立つことを示しなさい。

問題 10.3   $f_1: {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ を

$$f_1(n)= 2 n +1$$

と定義すれば、 問題 10.1 の $g$ に対し $g \circ f_1={\operatorname{id}}_{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ が成り立つことを示しなさい。

問題 10.4 (再)   $X={\mathbb{C}}[t]$ (複素数係数の $t$ を変数とする多項式の全体のなす集合), $Y={\mathbb{C}}[t]$ とおく。 写像 $f :X \ni p \to \int_0^t p dt \in Y$ と $g :Y \ni p \mapsto \frac{d}{d t} p \in X$ にたいして、

1. $g \circ f={\operatorname{id}}_X$ であることを示しなさい。
2. $f \circ g \neq {\operatorname{id}}_Y$ であることを示しなさい。
3. $f$ , $g$ はそれぞれ全射、単射、全単射だろうか。

定義 10.2   写像 $f: X\to Y$ が与えられているとき、

1. $X$ の部分集合 $A$ に対して、その $f$ による 像(順像とも言う) $f(A)$ を
   $$f(A)=\{ f(x) \vert x \in A\}$$
   で定義する。

2. $Y$ の部分集合 $B$ に対して、その $f$ による逆像 $\overset{-1}{f}(B)$ を
   $$\overset{-1}{f}(B)=\{ x \in X ; f(x)\in B\}$$
   により定義する。

逆写像と同じ記号 $\overset{-1}{f}$ を使っているけれども、 集合の逆像は $f$ の逆写像が存在しない場合においても定義される ということに 注意しておこう。

問題 10.5   $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ni x \mapsto x^2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ に対して、

1. $f([1,2])$ を求めよ。
2. $f([-3,-1])$ を求めよ。
3. $f([2,4]\cup [-3,-1])$ を求めよ。
4. $f([2,4])\cap f([-3,-1])$ を求めよ。
5. $f([2,4]\cap [-3,-1])$ を求めよ。

問題 10.6   $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ni x \mapsto x^2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ に対して、

1. $\overset{-1}{f}([1,2])$ を求めよ。
2. $\overset{-1}{f}(\{1\})$ を求めよ。
3. $\overset{-1}{f}(\{2\})$ を求めよ。
4. $\overset{-1}{f}(\{-1\})$ を求めよ。
5. $\overset{-1}{f}([-2,-1])$ を求めよ。
6. $\overset{-1}{f} ([1,2]\cup [3,4])$ を求めよ。

$\overset{-1}{f}$ は(見かけによらず)集合論的には使いやすい。 つまり、 $\overset{-1}{f}$ はさまざまな集合算と可換である。

問題 10.7   写像 $f: X\to Y$ に対して、次のことを示しなさい。

1. 任意の $A_1, A_2 \subset Y$ に対して、 $\overset{-1}{f}(A_1\cap A_2)=\overset{-1}{f}(A_1)\cap \overset{-1}{f}(A_2)$ .
2. 任意の $A_1, A_2 \subset Y$ に対して、 $\overset{-1}{f}(A_1\cup A_2)=\overset{-1}{f}(A_1)\cup \overset{-1}{f}(A_2)$ .
3. 任意の $A\subset Y$ に対して、 $\overset{-1}{f}(\complement A)= \complement(\overset{-1}{f} (A))$ .
4. $Y$ の無限個の部分集合族 $\{A_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ について、
   $$\overset{-1}{f}(\bigcap_{\lambda \in... ...Lambda} A_\lambda)= \bigcup_{\lambda \in \Lambda} \overset{-1}{f}( A_\lambda).$$

問題 10.5 で見たように、 $f$ の像については逆像ほどなんでもアリというわけにはいかない。 詳しくは集合論の本を見ればよいが、 さしあたっては実例が現れた時にその都度考えるぐらいで 十分だろう。