論理と集合要約 No.11

第11回目の主題 :

定義 11.1 (再)   写像 $f: X\to Y$ が与えられているとき、

1. $X$ の部分集合 $A$ に対して、その $f$ による 像(順像とも言う) $f(A)$ を
   $$f(A)=\{ f(x) \vert x \in A\}$$
   で定義する。

2. $Y$ の部分集合 $B$ に対して、その $f$ による逆像 $\overset{-1}{f}(B)$ を
   $$\overset{-1}{f}(B)=\{ x \in X ; f(x)\in B\}$$
   により定義する。

$f(A)$ は、「$A$ の元を $f$ で送ったモノの全体」、 $\overset{-1}{f}(B)$ は 「$f$ で送って $B$ に入るモノの全体」と唱える癖を つけておくと扱い易い。

問題 11.1 (再)   $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ni x \mapsto x^2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ に対して、

1. $f([1,2])$ を求めよ。
2. $f([-3,-1])$ を求めよ。
3. $f([2,4]\cup [-3,-1])$ を求めよ。
4. $f([2,4])\cap f([-3,-1])$ を求めよ。
5. $f([2,4]\cap [-3,-1])$ を求めよ。

問題 11.2   $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ni x \mapsto x^2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ に対して、

1. $\overset{-1}{f}([1,2])$ を求めよ。
2. $\overset{-1}{f}(\{1\})$ を求めよ。
3. $\overset{-1}{f}(\{2\})$ を求めよ。
4. $\overset{-1}{f}(\{-1\})$ を求めよ。
5. $\overset{-1}{f}([-2,-1])$ を求めよ。
6. $\overset{-1}{f} ([1,2]\cup [3,4])$ を求めよ。

$\overset{-1}{f}$ は(見かけによらず)集合論的には使いやすい。 つまり、 $\overset{-1}{f}$ はさまざまな集合算と可換である。

問題 11.3   写像 $f: X\to Y$ に対して、次のことを示しなさい。

1. 任意の $A_1, A_2 \subset Y$ に対して、 $\overset{-1}{f}(A_1\cap A_2)=\overset{-1}{f}(A_1)\cap \overset{-1}{f}(A_2)$ .
2. 任意の $A_1, A_2 \subset Y$ に対して、 $\overset{-1}{f}(A_1\cup A_2)=\overset{-1}{f}(A_1)\cup \overset{-1}{f}(A_2)$ .
3. 任意の $A\subset Y$ に対して、 $\overset{-1}{f}(\complement A)= \complement(\overset{-1}{f} (A))$ .
4. $Y$ の無限個の部分集合族 $\{A_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ について、
   $$\overset{-1}{f}(\bigcap_{\lambda \in... ...Lambda} A_\lambda)= \bigcup_{\lambda \in \Lambda} \overset{-1}{f}( A_\lambda).$$

問題 11.1 で見たように、 $f$ の像については逆像ほどなんでもアリ(良い性質をもつ)というわけにはいかない。 詳しくは集合論の本を見ればよいが、 さしあたっては実例が現れた時にその都度考えるぐらいで 十分だろう。

問題 11.4   $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2 \ni (x,y)\to x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ にたいして、つぎの各問に答えよ。

1. $A_1=\{(x,y)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2; \vert x\vert\leq 5$    and $\vert y\vert\leq 5$ にたいして、 $f(A_1)$ を求めよ。
2. $A_2=\{(x,y)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2; \vert x-5\vert\leq 5$    and $\vert y-10\vert\leq 5$ にたいして、 $f(A_2)$ を求めよ。
3. $f(A_1\cap A_2)$ を求めよ。
4. $f(A_1)\cap f(A_2)$ を求めよ。
5. $f(A_1 \cup A_2)$ を求めよ。

問題 11.5   $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2 \ni (x,y)\to x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ にたいして、

1. $\overset{-1}{f}(\{0\})$ を求めよ。
2. $\overset{-1}{f}(\{-3\})$ を求めよ。
3. $\overset{-1}{f}([1,5])$ を求めよ。
4. $\overset{-1}{f}([3,4])$ をもとめよ。