論理と集合要約 No.12

第12回目の主題 :

定義 12.1 (再)   写像 $f: X\to Y$ が与えられているとき、

1. $X$ の部分集合 $A$ に対して、その $f$ による 像(順像とも言う) $f(A)$ を
   $$f(A)=\{ f(x) \vert x \in A\}$$
   で定義する。

2. $Y$ の部分集合 $B$ に対して、その $f$ による逆像 $\overset{-1}{f}(B)$ を
   $$\overset{-1}{f}(B)=\{ x \in X ; f(x)\in B\}$$
   により定義する。

問題 12.1 (再)   $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2 \ni (x,y)\to x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ にたいして、

1. $\overset{-1}{f}(\{0\})$ を求めよ。
2. $\overset{-1}{f}(\{-3\})$ を求めよ。
3. $\overset{-1}{f}([1,5])$ を求めよ。
4. $\overset{-1}{f}([3,4])$ をもとめよ。

一般に、写像 $f: X\to Y$ が与えられると、$X$ の元は $f$ の値によって クラス分けされる。

問題 12.2   $f: X\to Y$ が与えられているとし、 $y\in Y$ に対して、 $\overset{-1}{f}(\{y\})$ のことを $X_{y}$ と 書くことにする。 次のことを示しなさい。

1. $X$ は $\{X_y\}_{y\in Y}$ の和集合である。
2. $y\in Y$ に対して、 $\overset{-1}{f}(\{y\})\neq \emptyset {\Leftrightarrow} y \in f(Y)$ .
3. $X_y \cap X_{y'}\neq \emptyset {\Leftrightarrow} X_y = X_{y'}$ .

$X_y$ のなかで、重複するものを省くことにより、 $X$ の下の意味でのクラス分けを作ることができる。 (厳密には選択公理を仮定する必要がある。)

定義 12.2   集合 $X$ の部分集合の族 $\{C_\lambda \}_{\lambda \in \Lambda}$ が $X$ のクラス分け (分割とも言う)であるとは、つぎのことが成り立つときに言う。

1. $$\bigcup_{\lambda \in \Lambda} C_\lambda =X$$ .
2. $\lambda_1,\lambda_2 \in \Lambda$ , $\lambda_1 \neq \lambda_2$ ならば $C_{\lambda_1} \cap C_{\lambda_2} =\emptyset$ .

◎クラス分けと同値関係。

クラス分けは、「クラス分けの表を書く」ことにより定義することができる。 ただし、次のような難点がある。

1. 表は一般には無限個の元からなり、書くのが大変である。 (全部を書ききるのは不可能である。)
2. $X$ の元 $x_1,x_2$ が同じクラスかどうか見るのに、いちいち クラス分けの表を見てから考えるのは面倒である。

そこで、クラス分けを定める別の方法を説明しよう。 「 $x, x' \in X$ が同じクラスである か同じクラスでないかのみを判定するマシン」が与えられているところを 想像すると良い。

定義 12.3   $X$ の2つの元 $x,y$ にたいして、$x \sim y$ か、そうでない( $x\not\sim y$ ) か がきちんと定まっていて、次の性質を持つとき、$\sim$ のことを $X$ 上の同値関係という。

1. $\forall x \in X \forall y \in X \forall z \in X$ (「$x \sim y$ and $y \sim z$ 」$\implies$ $x \sim z$ ).
2. $\forall x \in X$ ($x \sim x$ ).
3. $\forall x \in X \forall y \in X$ ($x \sim y$ $\implies$ $y \sim x$ ).

「同値関係」と、論理で言うところの「同値」とは (遠縁の親戚ぐらいにはあたるが)、別物である。よく区別すること。

問題 12.3   $X$ のクラス分け $\{C_\lambda \}_{\lambda \in \Lambda}$ が与えられたとき、 $x \sim x'$ であることを

$$\exists \lambda ( x\in C_\lambda$$    and $$x' \in C_\lambda)$$

か否かで判定すれば、この $\sim$ は同値関係であることを示しなさい。

問題 12.4   $X$ に同値関係 $\sim$ が与えられているとき、 $x \in X$ に対して、

$$C_x= \{ x' \in X ; x'\sim x\}$$

とおくとき、次のことを示しなさい。

1. $x \in C_x$ . とくに、 $$\bigcup_{x \in X } C_x =X$$ .
2. $x' \in C_x$ $\implies$ $x \in C_{x'}$ .
3. $C_x \cap C_{x'} \neq \emptyset {\Leftrightarrow} x \sim x' {\Leftrightarrow}\ C_x = C_{x'}$ .

先ほどと同様に、$C_x$ のなかから重複するものを省くことにより、 $X$ のクラス分けを得ることができる。 容易に分かるように、上記2問題の操作は互いに逆になっている。 すなわち、クラス分けを与えることとと同値関係を与えることは 本質的に同じ事である。

問題 12.5   写像 $f: X\to Y$ が与えられているとき、 $x \sim_f x'$ か否かの判定を $f(x) = f(x')$ か否かでするとき、 すなわち、

$$x \sim_f x' {\Leftrightarrow} f(x) = f(x')$$

と定めるとき、$\sim_f$ は $X$ の同値関係であることを 定義に従って示しなさい。

「ホテルヒルベルト」的な表現をしてみよう。 写像 $f$ により、$X$ のそれぞれの ヒトはホテル $Y$ のある部屋に入る。 $x_1\sim_f x_2$ とは、 $x_1$ さんと $x_2$ さんが同じ部屋に泊まることを意味する。 入る部屋によって $X$ のクラス分けが行われるというわけである。

問題 12.6   $f: {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ を $f(n)=n^2$ で定義するとき、

1. $1 \sim_f n$ となるような $n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ をすべて求めなさい。
2. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の $\sim_f$ に関するクラス分けの表を書きなさい。

問題 12.7   $f:$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2 \ni (x,y) \mapsto x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ に対して、

1. $(1,0) \sim_f (1,5)$ であることを示しなさい。
2. $(1,0) \not\sim_f (2,5)$ であることを示しなさい。
3. $(1,0) \sim_f (a,b)$ となるような $(a,b)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ をすべて求めなさい。

問題 12.8   $f:$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2 \ni (x,y) \mapsto x^2+y^2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ に対して、

1. $(1,0) \sim_f (0,-1)$ であることを示しなさい。
2. $(1,0) \not\sim_f (2,5)$ であることを示しなさい。
3. $(1,0) \sim_f (a,b)$ となるような $(a,b)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ をすべて求めなさい。