論理と集合要約 No.13

第13回目の主題 :

定義 13.1 (再)   集合 $X$ の部分集合の族 $\{C_\lambda \}_{\lambda \in \Lambda}$ が $X$ のクラス分け (分割とも言う)であるとは、つぎのことが成り立つときに言う。

1. $$\bigcup_{\lambda \in \Lambda} C_\lambda =X$$ .
2. $\lambda_1,\lambda_2 \in \Lambda$ , $\lambda_1 \neq \lambda_2$ ならば $C_{\lambda_1} \cap C_{\lambda_2} =\emptyset$ .

定義 13.2 (再)   $X$ の2つの元 $x,y$ にたいして、$x \sim y$ か、そうでない( $x\not\sim y$ ) か がきちんと定まっていて、次の性質を持つとき、$\sim$ のことを $X$ 上の同値関係という。

1. $\forall x \in X \forall y \in X \forall z \in X$ (「$x \sim y$ and $y \sim z$ 」$\implies$ $x \sim z$ ).
2. $\forall x \in X$ ($x \sim x$ ).
3. $\forall x \in X \forall y \in X$ ($x \sim y$ $\implies$ $y \sim x$ ).

「同値関係」と、論理で言うところの「同値」とは (遠縁の親戚ぐらいにはあたるが)、別物である。よく区別すること。

問題 13.1 (再)   $X$ のクラス分け $\{C_\lambda \}_{\lambda \in \Lambda}$ が与えられたとき、 $x \sim x'$ であることを

$$\exists \lambda ( x\in C_\lambda$$    and $$x' \in C_\lambda)$$

か否かで判定すれば、この $\sim$ は同値関係であることを示しなさい。

問題 13.2 (再)   $X$ に同値関係 $\sim$ が与えられているとする。 $x \in X$ に対して、

$$C_x= \{ x' \in X ; x'\sim x\}$$

とおくとき、次のことを示しなさい。

1. $x \in C_x$ . とくに、 $$\bigcup_{x \in X } C_x =X$$ .
2. $x' \in C_x$ $\implies$ $x \in C_{x'}$ .
3. $C_x \cap C_{x'} \neq \emptyset \ {\Leftrightarrow}\ x \sim x' \ {\Leftrightarrow}\ C_x = C_{x'}$ .

先ほどと同様に、$C_x$ のなかから重複するものを省くことにより、 $X$ のクラス分けを得ることができる。 容易に分かるように、上記2問題の操作は互いに逆になっている。 すなわち、クラス分けを与えることとと同値関係を与えることは 本質的に同じ事である。

定義 13.3   集合 $X$ に同値関係 $\sim$ が与えられているとき、 問題 13.2 で見たように $X$ に次のようなクラス分けが定まるのであった。

$$x_1\in X$$    と $$x_2 \in X$$    とが同じクラス $${\Leftrightarrow}x_1 \sim x_2.$$

このクラス分けによるクラスの全体を $X/\sim$ とよび、$X$ の $\sim$ による 商集合とよぶ。

問題 13.3 (再)   写像 $f:X \to Y$ が与えられているとき、 $x \sim_f x'$ か否かの判定を $f(x) = f(x')$ か否かでするとき、 すなわち、

$$x \sim_f x' \ {\Leftrightarrow}\ f(x) = f(x')$$

と定めるとき、$\sim_f$ は $X$ の同値関係であることを 定義に従って示しなさい。

上の問題の $\sim_f$ を以下でも流用する。

問題 13.4 (再)   $f: {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ を $f(n)=n^2$ で定義するとき、

1. $1 \sim_f n$ となるような $n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ をすべて求めなさい。
2. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の $\sim_f$ に関するクラス分けの表を書きなさい。

問題 13.5 (再)   $f:$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2 \ni (x,y) \mapsto x \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ に対して、

1. $(1,0) \sim_f (1,5)$ であることを示しなさい。
2. $(1,0) \not\sim_f (2,5)$ であることを示しなさい。
3. $(1,0) \sim_f (a,b)$ となるような $(a,b)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ をすべて求めなさい。

問題 13.6 (再)   $f:$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2 \ni (x,y) \mapsto x^2+y^2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ に対して、

1. $(1,0) \sim_f (0,-1)$ であることを示しなさい。
2. $(1,0) \not\sim_f (2,5)$ であることを示しなさい。
3. $(1,0) \sim_f (a,b)$ となるような $(a,b)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ をすべて求めなさい。

問題 13.7   $f:$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\ni t \mapsto (\cos(t),\sin(t)) \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ に対して、

1. $0 \sim_f 2 \pi$ であることを示しなさい。
2. $0 \not\sim_f \pi$ であることを示しなさい。
3. $0 \sim_f a$ となるような $a\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ をすべて求めなさい。
4. $a \sim_f b$ となるための $a,b\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の条件は なんだろうか。

問題 13.8   $X=$(平仮名の全体のなす集合) , $y=$(アルファベット小文字全体のなす集合) , $f:X \to Y$ を $x \in X$ に対して、$x$ を ローマ字小文字表記(ヘボン式)した時の最後の文字に写すことにより定める。 このとき、

1. あなたの自由に選んだ平仮名5文字 $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ について、 $f(x_1),f(x_2),f(x_3),f(x_4),f(x_5)$ を求めなさい。
2. 「あ $\sim_f$ た」 であることを示しなさい。
3. 「い $\not\sim_f$ た」 であることを示しなさい。
4. $\sim_f$ に関して同じクラスであるための条件を簡潔に述べなさい。
5. 商集合 $X/\sim_f$ の元の個数 $\char93 (X/\sim_f)$ はいくつか。

問題 13.9   $X={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}$ , $Y=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ とし、 $f:X \to Y$ を、 $f(x)=$($x$ を10で割った余り) で定義する。 このとき、

1. あなたの自由に選んだ正の整数 $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ について、 $f(x_1),f(x_2),f(x_3),f(x_4),f(x_5)$ を求めなさい。
2. $75 \sim_f 55$ であることを示しなさい。
3. $85 \not \sim_f 1018$ であることを示しなさい。
4. $\sim_f$ に関して同じクラスであるための条件を 10進数による表記をもちいて簡潔に述べなさい。
5. $x \sim_f y$ と $x-y \in 10 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ は同値であることを示しなさい。
6. 商集合 $X/\sim_f$ の元の個数 $\char93 (X/\sim_f)$ はいくつか。