論理と集合要約 NO.15

第 15 回目の主題 : 復習。

例題 15.1. 命題 P:∀x ∈ ℝ∀y ∈ ℝ(x < y ⟹ ∃z ∈ ℤ(x < z and z < y))) について、 (1) P の否定命題 (not P) を「not を使わずに」書きなさい。

(2) P と not P のうち、真であるのはどちらだろうか。

例題 15.2. 写像 f : ℤ ∋ x ↦ x^{2} − 2x ∈ ℤ に対して、

(1) f^{−1}({0}) を求めなさい。

(2) f^{−1}({1}) を求めなさい。

(3) f^{−1}({4, 5, 6}) を求めなさい。

(4) f は単射だろうか。理由を挙げて答えなさい。

(5) f は全射だろうか。理由を挙げて答えなさい。

(6) f によって ℤ に同値関係 ∼_{f} が

x ∼_{f} y⇔f(x) = f(y)

により定まる。この ∼_{f} により 3 と同値になる ℤ の元をすべて求めなさい。

例題 15.3. 写像 f : ℝ ∋ x ↦ x^{2} − 2x ∈ ℝ に対して、

(1) f^{−1}({0}) を求めなさい。

(2) f^{−1}({1}) を求めなさい。

(3) f は単射だろうか。理由を挙げて答えなさい。

(4) f は全射だろうか。理由を挙げて答えなさい。

(5) f によって ℝ に同値関係 ∼_{f} が

x ∼_{f} y⇔f(x) = f(y)

により定まる。この ∼_{f} により 3 と同値になる ℝ の元をすべて求めなさい。

例題 15.4. f : ℤ ∋ x → x^{3} − x ∈ ℤ は全射であろうか。

例題 15.5. f : ℝ ∋ x → x^{3} − x ∈ ℝ は全射であろうか。