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論理と集合要約 No.15

第15回目の主題 : 復習。

例題 15.1   命題 P: $ \forall x\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ \forall y\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ( x<y \implies \exists z\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}( x<z \text{ and } z<y)))$ について、
  1. P の否定命題 (not P)を「not を使わずに」書きなさい。
  2. P と not P のうち、真であるのはどちらだろうか。

例題 15.2   写像 $ f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni x \mapsto x^2-2x \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ に対して、

  1. $ \overset{-1}{f}(\{0\})$ を求めなさい。
  2. $ \overset{-1}{f}(\{1\})$ を求めなさい。
  3. $ \overset{-1}{f}(\{4,5,6\})$ を求めなさい。
  4. $ f$ は単射だろうか。理由を挙げて答えなさい。
  5. $ f$ は全射だろうか。理由を挙げて答えなさい。
  6. $ f$ によって $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ に同値関係 $ \sim_f$

    $\displaystyle x\sim_f y {\Leftrightarrow}f(x)=f(y)
$

    により定まる。この $ \sim_f$ により $ 3$ と同値になる $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元を すべて求めなさい。

例題 15.3   写像 $ f:$$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ \ni x \mapsto x^2-2x \in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ に対して、

  1. $ \overset{-1}{f}(\{0\})$ を求めなさい。
  2. $ \overset{-1}{f}(\{1\})$ を求めなさい。
  3. $ f$ は単射だろうか。理由を挙げて答えなさい。
  4. $ f$ は全射だろうか。理由を挙げて答えなさい。
  5. $ f$ によって $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ に同値関係 $ \sim_f$

    $\displaystyle x\sim_f y {\Leftrightarrow}f(x)=f(y)
$

    により定まる。この $ \sim_f$ により $ 3$ と同値になる $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ の元を すべて求めなさい。

例題 15.4   $ f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni x \to x^3-x \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ は全射であろうか。

例題 15.5   $ f:$$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ \ni x \to x^3-x \in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ は全射であろうか。



2011-07-26