論理と集合要約 NO.16

問題 16.1. 命題 P:∀x ∈ ℝ∀y ∈ ℝ(x < y ⟹ ∃z ∈ ℝ(x < z and z < y))) について、 (1) P の否定命題を「not を使わずに」書きなさい。 (答のみで良い。 )

(2) P と not P のうち、真であるのはどちらだろうか。真である方の命題を明記し、それを証明しなさい。

問題 16.2. 写像 f : ℤ ∋ x ↦ x^{3} − x ∈ ℤ について、次の各問に答えよ。それぞれ理由も述べること。

(1) f^{−1}({0}) を求めよ。

(2) f^{−1}({6, 7, 8, 9, 10}) を求めよ。

論理と集合要約 NO.16

解答 16.1

(1) P の否定は

∃x ∈ ℝ∃y ∈ ℝ(x < y and ∀z ∈ ℝ(x ≥ z or z ≥ y)))

である。

(2) P のほうが真である。 [証明] ∀x ∈ ℝ∀y ∈ ℝ を持ってくる。いま、 x < y と仮定すると、

z = \frac{x + y}{2}

は

x < z < y

を満たす^{†}。 [証明終わり] (^{†} ここのところは、もう少し詳しく言えば

z − x = \frac{y − x}{2} > 0, y − z = \frac{y − x}{2} > 0

であるからである。 ) 16.2 (1)

f^{−1}({0}) = {x ∈ ℤ; f(x) = 0}
= {x ∈ ℤ; x^{3} − x = 0} = {x ∈ ℤ; x(x − 1)(x + 1) = 0}
= {0, 1, −1}.

(2) x = −1, 0, 1, 2, 3 における f の値はそれぞれ 0, 0, 0, 6, 24

であり、 f は x ≤ −1 においては単調増加であるから、

x < −1 ⟹ f(x) < f(−1) = 0.

同様に、 f は x ≥ 3 においても単調増加であるから、

x > 3 ⟹ f(x) > f(3) = 24.

ゆえに、 f(x) の値が 6, 7, 8, 9, 10 のいずれかに等しいのは (x ∈ ℤ の条件のもとで) x = 2 のときに限る。すなわち、

f^{−1}({6, 7, 8, 9, 10}) = {2}