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代数学演習 IB 問題 No.3

\fbox{イデアルの定義、「生成するイデアル」編}

定義 3.1   環 $ R$ の部分集合が $ R$イデアルであるとは、
  1. $ I$$ (R,+)$ の部分加群である。
  2. $ r\in R, a\in I \implies ra\in I, ar\in I$
の二条件が成り立つときに言います。

問題 3.1   環 $ R$ の部分集合 $ \{0\}$$ R$ のイデアルであることを示しなさい。(通常 $ \{0\}$ を単に 0 であらわします。)

問題 3.2 (各1)   次の各 $ R,I$ の組合せにおいて、「$ I$ は環 $ R$ のイデアルである」 といえるだろうか?理由をあげて答えなさい。
  1. $ R=\mathbb{N}$ , $ I=0$ .
  2. $ R={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $ I=2{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+1$ .
  3. $ R={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $ I=\mathbb{N}$ .
  4. $ R=$$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ , $ I=2{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
  5. $ R={\mathbb{C}}$ , $ I=$$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ .
  6. $ R={\mathbb{C}}[X]$ , $ I={\mathbb{C}}$ .
  7. $ R={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $ I=$ (素数の全体).

定義 3.2   環 $ R$ の部分集合 $ A,B$ にたいして、
  1. $ A+B= \{a+b; a\in A, b\in B\}$ .
  2. $ A\underset{\text{(set)}}{\cdot} B= \{a b; a\in A, b\in B\}$ .
と定義します。他に紛れがない時には、 $ A\underset{\text{(set)}}{\cdot} B= \{a b; a\in A, b\in B\}$ のことを 単に $ A B$ とも書きます。

問題 3.3   $ I,J$ が環 $ R$ のイデアルならば、$ I\cap J$$ R$ のイデアルであることを示しなさい。

問題 3.4   $ I,J$ が環 $ R$ のイデアルならば、$ I\cup J$$ R$ のイデアルであると いえるだろうか。

問題 3.5   $ I,J$ が環 $ R$ のイデアルならば、

% latex2html id marker 1511
$\displaystyle I+J=\{a+b; \quad a\in I, b\in J\}
$

$ R$ のイデアルであることを示しなさい。

問題 3.6   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ の部分集合

$\displaystyle I=\{f\in{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]; \text{$f$ の定数項は $2$ の倍数}\}
$

$ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ のイデアルだろうか?

問題 3.7   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ の部分集合 $ S$ であって、和、積について閉じているにも関わらず、 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ のイデアルでないものの例を挙げなさい。

問題 3.8   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ の部分集合

$\displaystyle J=\{f\in{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]; f(0)\in 3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\text{ and } f'(0)\in 3 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}
$

$ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ のイデアルだろうか?

問題 3.9   $ I,J$ が可換環 $ R$ のイデアルであるにもかかわらず

$\displaystyle I\underset{\text{(set)}}{\cdot} J=\{ a b; a \in I, b \in J \}
$

($ I$$ J$$ R$ の部分集合としての積)が $ R$ のイデアルにならないような例を具体的にあげなさい。

問題 3.10   $ I,J$ が可換環 $ R$ のイデアルならば、

$\displaystyle IJ=\{\sum_i a_ib_i ($有限和$\displaystyle ); a_i\in I, b_i \in J \}$   (注意)

$ R$ のイデアルとなることを示しなさい。($ IJ$ のことを $ I$$ J$イデアルとしての積と呼ぶ。

問題 3.11   可換環 $ R$ の巾零元全体

$\displaystyle P=\{x\in R; x^n=0 (\exists n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0})\}
$

$ R$ のイデアルとなることを示しなさい。

定義 3.3   単位元を持つ可換環 $ R$ 上の一変数多項式とは、

% latex2html id marker 1605
$\displaystyle a_n X^n +a_{n-1} X^{n-1}+a_{n-2} X^{n-2}+\dots+ a_1 X+ a_0 \quad
(a_n,\dots,a_0 \in R)
$

のように表されるもののことです。$ R$ 上の一変数多項式の全体は環をなします。 これを $ R$ 上の一変数多項式環と言って、$ R[X]$ であらわします。 以下面倒なので《一変数多項式》が出てくる問題では、 $ R$ は単位元を持つ可換環であると仮定していることにします。

問題 3.12 (単位元を持つ可換)   環 $ R$ 上の一変数多項式 $ f(X)$$ R$ の元 $ a$ について、$ f(a)=0$ ならば、

% latex2html id marker 1630
$\displaystyle f(X)=(X-a)g(X) \quad g(X)\in R[X]
$

とあらわせることを示しなさい。

定義 3.4   環 $ R$ の元 $ a$ は、

$\displaystyle ab=0
$

なる % latex2html id marker 1643
$ b(\neq 0)\in R$ が存在するとき、左零因子と呼ばれます。 右零因子も同様に定義されます。 可換環では、左右の区別がいらないので、単に零因子と呼びます。 零因子が 0 しかない可換環を整域と呼びます。

問題 3.13   整域 $ R$ 上の 一変数多項式 $ f(X)$ は、$ R$ に高々 $ d$ 個しか根を持たないことを示しなさい。

問題 3.14   可換環 $ R$ 上の一変数多項式 $ f(X)$ の係数のうちに非零因子があれば、$ f(X)$$ R[X]$ の非零因子となることを示しなさい。

問題 3.15   有理数体 $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上の二変数多項式環 $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ [X,Y]$ のイデアル $ I$ $ X+Y(X+1),Y,X^2$ を元として含む時、$ I$$ X,Y$ も元として含むことを 示しなさい。

問題 3.16 (各1)   有理数体 $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上の二変数多項式環 $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ [X,Y]$ のイデアル $ J$ $ X+Y,X+Y^2, X+Y^3, X+Y^4, X+Y^5 $ を元として含む時、
  1. $ J$$ X+Y,Y^2-Y$ を元として含むことを示しなさい。
  2. $ X+Y,Y^2-Y$ を元として含むような $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ [X,Y]$ のイデアルは 必ず $ J$ を部分集合として含むことを示しなさい。

定義 3.5   $ R$ を環、$ I$ をそのイデアル、$ S$$ R$ の部分集合とします。$ I$$ S$ で(イデアルとして)生成されるとは、次の二条件を満たすときに言います。
  1. $ I$$ S$ を部分集合として含む。
  2. $ I$ は、$ S$ を部分集合として含むイデアルの中で最小のものである。すなわち、 $ S$ を含む $ R$ の任意のイデアル $ J$ に対し、 $ I\subset J$ が成り立つ。
$ S$ が有限集合 $ S=\{x_1,\dots,x_n\}$ のとき、$ S$ で生成されるイデアルを普通 $ (x_1,\dots,x_n)$ と丸括弧を用いて書きます。

例題 3.1   $ \{9,12\}$ で生成される $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアル $ I=(9,12)$ を求めよ。

解答 $ I$ は引き算について閉じているから、

$\displaystyle I\ni 12-9=3.
$

さらに、$ I$ $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ による掛け算により閉じているから、

$\displaystyle 3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\subset I.
$

ところが、 $ 3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$$ \{9,12\}$ を含む $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアルであるから、$ I$ の最小性により、

$\displaystyle I \subset 3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}
$

以上により、 $ I=3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ が分かった。($ I=(3)$ と書いても良い。次の問題も参照)

問題 3.17 (各1)   $ R$ を環、$ S$ をその部分集合とします。この時 $ S$ で生成される $ R$ のイデアル $ I$ がただひとつ存在することを次の順序で示しなさい。
  1. (一意性) $ I,J$ がともに $ S$ で生成される $ R$ のイデアル(すなわち定義3.5 の(1),(2)を満たす)ならば、$ I,J$ 両方の最小性を用いて、$ I=J$ が分かる。
  2. (存在 I) $ S$ を含む $ R$ のイデアルは一つは必ず存在することを示しなさい。
  3. (存在 II) $ S$ を含む $ R$ のイデアルの全体を $ \{I_\lambda\}_{\lambda\in \Lambda}$ とすると、それらすべての共通部分

    $\displaystyle I_0=\cap_{\lambda \in \Lambda}I_\lambda
$

    $ R$ のイデアルで、かつ $ S$ を含むことを示しなさい。
  4. (存在 III) 上の $ I_0$$ S$ を含む最小のイデアルであることを示しなさい。

問題 3.18 (各1)   次の $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアルを簡単な形になおしなさい。
  1. $ I_1=(4,6)$
  2. $ I_2=(12,18,30)$
  3. $ I_3=(78,54,62)$

問題 3.19 (各1)   次の $ {\mathbb{C}}[X]$ のイデアルを簡単な形になおしなさい。
  1. $ I_1=(X^3,X^2)$
  2. $ I_2=(X^3-1, X^2-1)$
  3. $ I_3=(X(X-1),(X+1)(X-1),X(X+1))$


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2011-10-21