代数学演習 IB 問題 No.4

問題 4.1 (各1)   $R$ は単位元をもつ環であるとし、$I$ をそのイデアルとする。 このとき、

1. $R$ に同値関係 $\sim$ が、次のようにして決まることをしめしなさい。
   $$a\sim b \ {\Leftrightarrow}\ a-b \in I.$$

2. $R/\sim$ に、足し算を次のようにして入れる。
   $$\bar{a}+\bar{b}=\overline{a+b} \quad ($$$?$ は $?$ の $&sim#sim;$ に関する クラスを表す。$$)$$
   この足し算はうまく定義されていて、$R/\sim$ はこの足し算について可換群になる ことをしめしなさい。
3. $R/\sim$ に、かけ算を次のようにして入れる。
   $$\bar{a}\cdot \bar{b}=\overline{a \cdot b}$$
   このかけ算はうまく定義されていて、$R/\sim$ はこのかけ算について半群になる ことを示しなさい。
4. $R/\sim$ は上で定義された足し算、かけざんに関し環をなすことを示しなさい。 この環の単位元はなにですか？

定義 4.1   上の補題の仮定のもとで、 $R/\sim$ に上のような足し算、かけ算を入れて 環にしたものを $R/I$ と書き、$R$ の $I$ による剰余環と呼ぶ。

問題 4.2 (この問題は全部といて一点)   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のイデアル $I=10{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ について、 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ に上記補題のような同値関係をいれたとき、

1. $1$ と同値であるような ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元を正、負ともに 2個ずつあげ、 それらを $a_1,\dots,a_4$ とする。 $a_1,\dots,a_4$ が実際に $1$ と同値であることを定義にもとづいて示しなさい。
2. $3$ と同値であるような ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元を正、負ともに 2個ずつあげなさい。 それらを $b_1,\dots,b_4$ とする。
3. 上のようにして取った $a_i,b_j$ の全ての組合せ(16通り) について、
   $$a_i+b_j$$
   をもとめ、そのおのおのについて、 それと同値になる ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元を $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ のなかから一つ選びなさい。

問題 4.3 (この問題は全部といて一点)   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/10{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ において、整数 $?$ のクラス(同値類)を $[?]_{10}$ で表すことにする。 このとき、

1. $[10]_{10}=[0]_{10}$ であることを証明しなさい。
2. $[2]_{10}\neq [0]_{10}$ であることを証明しなさい。
3. $[5]_{10}\neq [0]_{10}$ であることを証明しなさい。
4. $[2]_{10}\times [5]_{10}$ , $[3]_{10}\times [7]_{10}$ をできるだけ簡単な形に なおしなさい。

問題 4.4   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/11{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元 $x$ で $x^2=3$ を満たすものをすべて求めなさい。

問題 4.5   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/7{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元 $x$ で $x^2=3$ を満たすものをすべて求めなさい。

問題 4.6   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/11{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元 $x$ で $x^3+x+5=0$ を満たすものをすべて求めなさい。

問題 4.7   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/11{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元 $x$ で $x^3+x+1=0$ を満たすものをすべて求めなさい。

問題 4.8   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/15{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ の元 $x$ で $x^2=1$ を満たすものを、全て挙げなさい。

問題 4.9   $n=3\times 5\times 7\times 11(=1155)$ とする。 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ のなかで、

$$x^2=1$$

を満たすものを、全て挙げなさい。 (それで全部であることを証明すること。)

問題 4.10  

$$1234567891234567$$

を $9$ で割ったあまりはいくらだろうか？ できるだけ簡潔な理由をつけて(計算機を 用いることなく)答えなさい。

問題 4.11  

$$1234567891234567$$

を $11$ で割ったあまりはいくらだろうか？ できるだけ簡潔な理由をつけて(計算機を 用いることなく)答えなさい。

問題 4.12  

$$1234567891234567$$

を $99$ で割ったあまりはいくらだろうか？ できるだけ簡潔な理由をつけて(計算機を 用いることなく)答えなさい。

問題 4.13   次のことを正当化しなさい。 「 $123456789$ を $13$ で割った余りは

$$123-456+789$$

を $13$ で割った余りとおなじである。 任意の9桁の数で同様のことができる。」

問題 4.14   $3^{100}$ の下3桁を計算機を使わずに計算せよ。

問題 4.15   $10^{10^{10}}$ を $17$ で割った余りを計算せよ。

(注意) $10^{10^{10}}$ は $(10^{10})^{10}$ とは(当然のことながら)まるで異なる。