代数学演習 I 問題 NO.5

イデアルの例とイデアルによる剰余環 (2), 行列算編問題 5.1. ℤ/23ℤ の各元 x に対して、その逆元を書きなさい。問題 5.2. (各 1) R = ℤ/112233ℤ において、

(1) R の元 2 の逆元を求めなさい。

(2) R の元 5 の逆元を求めなさい。

(3) R の元 756 の逆元を求めなさい。

(4) R の元 4117 は逆元を持つだろうか?

環 R に対して、その元を成分にもつ行列を考えることができ、通常の意味の和、差、積が (サイズがあっているという条件のもとで) 定義されて、一年生で習う線形代数のかなりの部分がそのまま正しい。 (割り算を伴う場合については注意が必要。 )

M_{n}(R) = {R の元を成分にもつ n × n 行列}

とおくと、これは (可換ではない) 環である。その単位元は 1_{n} (n 次の単位行列) である。

問題 5.3. ℤ/15ℤ の元を成分にもつ行列の積

(\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix}) (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 0 \end{matrix})

を計算し、できるだけ簡単な形、すなわち各成分の絶対値が 14 以下の整数によって表されている形になるように直しなさい。問題 5.4. ℤ/15ℤ の元を要素にもつ行列

(\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix})

の逆行列を計算しなさい。問題 5.5. ℤ/14ℤ の元を要素にもつ行列

(\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 0 \end{matrix})

の逆行列を計算しなさい。問題 5.6. ℤ/16ℤ の元を要素にもつ行列

(\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 0 \end{matrix})

の逆行列を計算しなさい。問題 5.7. 可換環 R の元を成分にする m, n 行列 A と n, m 行列 B とにたいして、

tr(AB) = tr(BA)

が成り立つことを証明しなさい。問題 5.8. ℤ/15ℤ の元を要素にもつ行列

A = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 0 \end{matrix})

の逆行列は存在するだろうか。行列式の乗法性

det(X) det(Y) = det(XY)

に基づいて答えなさい。

問題 5.9. どんな整数 n に対しても、

AB − BA = 1_{n}

をみたす行列 A, B ∈ M_{n}(ℂ) は存在しないことを示しなさい。 (ヒント: トレース)

問題 5.10. 素数 p について、 A, B ∈ M_{p}(𝔽_{p}) で、

AB − BA = 1_{p}

を満たすものの例を挙げなさい。 (かなり難問である。 p = 3, 5 のときにまず試してみると良いかも知れない。 )

問題 5.11. 体 K と素数 q、正の整数 l が与えられているとする。このとき、群 K^{×} の元 x の、 K^{×} の元としての位数 (=乗法的位数) が q^{l} の約数であるような元の全体は巡回群をなすことを示しなさい。

問題 5.12. 有限体 K 上の行列 A ∈ M_{n}(K) が、 M_{n}(K) の中で可逆なら、ある正の整数 m について

A^{m} = 1_{n} (サイズ n の単位行列)

が成り立つことを証明しなさい。