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代数学演習 IB 問題 No.6

\fbox{環の準同型定理編}

問題 6.1 (全部で1点)   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ から $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ への次の写像はいずれも環準同型でないことを示しなさい。
  1. $ f_1(x)=(x+1)/2$
  2. $ f_2(x)=x^2$
  3. $ f_3(x)=2 x-1$
  4. $ f_4(x)=x^3+x^2-x$

問題 6.2 (全部で1)   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への環準同型 $ \varphi$ があったとする。
  1. $ \varphi(2),\varphi(3)$ を求めよ。
  2. 任意の $ k\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0}$ にたいして、 $ \varphi(k)=k$ であることを示しなさい。
  3. % latex2html id marker 1323
$ \varphi(k)=k \qquad(\forall k \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$ を示しなさい。

問題 6.3 (全部で1)   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ から $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への環準同型 $ \varphi$ で、 $ \varphi(X)=3$ をみたすもの があったとする。
  1. % latex2html id marker 1338
$ \varphi(k)=k \qquad(\forall k \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$ を示しなさい。
  2. $ \varphi(5X),\varphi(X^3)$ をそれぞれもとめなさい。
  3. $ \varphi(X^3+5 X +7)$ をもとめなさい。
  4. $ p(X)=\sum_j a_j X^j$ にたいして、 $ \varphi(p)$ をもとめなさい。

問題 6.4   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/5{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への環準同型は 存在するだろうか。存在する場合には全て挙げ、 存在しない場合はその理由をのべよ。

問題 6.5   $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ から $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への環準同型は 存在するだろうか。存在する場合には全て挙げ、 存在しない場合はその理由をのべよ。

問題 6.6   $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ から $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/7{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への環準同型は 存在するだろうか。存在する場合には全て挙げ、 存在しない場合はその理由をのべよ。

問題 6.7   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/5{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/7{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への環準同型は 存在するだろうか。存在する場合には全て挙げ、 存在しない場合はその理由をのべよ。

問題 6.8 (各1点)   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ から $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ への環準同型 $ f$ が与えられているとするとき、
  1. $ f($$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$% latex2html id marker 1397
$ _{\geq 0}) \subset$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$% latex2html id marker 1399
$ _{\geq 0}$ であることを示しなさい。
  2. $ x,y\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$ , % latex2html id marker 1404
$ x\leq y$ ならば % latex2html id marker 1406
$ f(x)\leq f(y)$ であることを示しなさい。
  3. $ f$ は連続であることを示しなさい。
  4. $ f={\operatorname{id}}$ (恒等写像) であることを示しなさい。

問題 6.9   $ {\mathbb{C}}$ から $ {\mathbb{C}}$ への準同型写像の例を二つ(以上)挙げなさい。 (二つはかなり簡単に見つかるが、三つめを挙げるのは超難問である。 それゆえ二つ答えるのが無難である。)

以下この演習では、とくに断らないで $ [?]_n$$ ?$ $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ でのクラスを表すことがある。 文脈でわかると思うので、いちいち書かないが、注意していただきたい。

問題 6.10   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/20{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/5{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $ f$

% latex2html id marker 1438
$\displaystyle f([x]_{20})=[x]_5 \qquad (x\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})
$

で定める。 このとき、$ f$ はうまく定義されていて、環準同型である ことを示しなさい。

問題 6.11   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/31{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ から $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/7{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ への写像 $ f$

% latex2html id marker 1453
$\displaystyle f([x]_{31})=[x]_7 \qquad(x\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})
$

で定めたいが、$ f$ はうまく定義されていて、環準同型である だろうか。理由をつけて答えなさい。

問題 6.12   体 $ K$ から 環 $ R$ への準同型写像は 必ず単射であることを示しなさい。

問題 6.13   環準同型写像 $ f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/18{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni [x]_{18}\mapsto [x]_6 \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/6{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ を考える。 一行目に $ x\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/18{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ (18個), 二行目に $ f(x)$ が並んだような表を作り、 $ \operatorname{Ker}(f)$ , $ f^{-1}([1]_6)$ , $ f^{-1}([2]_6)$ をそれぞれ求めなさい。

問題 6.14   環準同型写像 $ f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/20{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni [x]_{20} \mapsto [x]_{4}\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ を考える。 一行目に $ x\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/18{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ (18個), 二行目に $ f(x)$ が並んだような表を作り、 $ \operatorname{Ker}(f)$ , $ f^{-1}([1]_6)$ , $ f^{-1}([2]_6)$ をそれぞれ求めなさい。

問題 6.15   行列

$\displaystyle A=
\begin{pmatrix}
3 & 0\\
0 & 7
\end{pmatrix}\in M_n({\mathbb{C}})
$

にたいして、

$\displaystyle \varphi:{\mathbb{C}}[X] \to M_n({\mathbb{C}})
$

$\displaystyle \varphi(p)=p(A)
$

で定義する。 このとき、
  1. $ \varphi(X),\varphi(X^2),\varphi(X^3)$ を求めなさい。
  2. $ \varphi(X^7+X+1)$ をもとめなさい。
  3. $ \varphi$ は環準同型であることを示しなさい。
  4. $ \operatorname{Ker}(\varphi)$ を求めなさい。
  5. $\displaystyle \operatorname{Image}(\varphi)=
\left\{
\begin{pmatrix}
a & 0 \\
0 & b
\end{pmatrix}; a,b\in {\mathbb{C}}
\right\}
$

    であることを証明しなさい。


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2011-11-14